メモ29　有限体上の楕円曲線に関する問題

1．はじめに

　Silverman Tate のRational Points on Elliptic Curves（以下,[Sil]と記す）の第4章は有限体上の楕円曲線を扱っている。章末の練習問題に取り組み始めたので、備忘録としてメモしておく。解答が不完全であったり、誤りがあったりする可能性はありますことご注意ください。誤りにお気づきの節はご連絡いただければ幸いです。

※7月17日に4.2【問題】の解答の流れを追加した。

2．問題

4.1【問題】
$p \ne 2$ を素数、 $a,b,c,d∊F_{p},\hspace{5pt}acd \ne 0$ 、 $C$ を円錐曲線

$C:ax^{2}+bxy+cy^{2}=dz^{2}$ とする。このとき、(a),(b)を示せ。

$\hspace{10pt} (a)\hspace{5pt} b^{2} \ne 4ac$ ならば $\#C(F_{p})=p+1$
$\hspace{10pt} (b)\hspace{5pt} b^{2}=4ac$ ならば $\#C(F_{p})=1$ または $2p+1$

また、これらの例をあげよ。

【解答の流れ】

$(a)$

$C:ax^{2}+bxy+cy^{2}=dz^{2}$ を変形して

$a(x+\frac{b}{2a}y)^{2}+\frac{-b^{2}+4ac}{4a}y^{2}=dz^{2}$

したがって、最初から $b=0$ としてよい。

　次の①、②の順に説明する。

①　この円錐曲線上に有理点 $(x_{0},y_{0})$ が存在するとして $(a)$ を示す。

②　この円錐曲線上に有理点 $(x_{0},y_{0})$ が存在することを示す。

①　円錐曲線上に有理点 $(x_{0},y_{0})$ が存在するとして $(a)$ を示す。

　 $1)\hspace{5pt} z \ne 0$ のとき:

　同次座標での解を求めるので $z=1$ とする。

　 $(x_{0},y_{0})$ 以外の解は、円錐曲線と $(x_{0},y_{0})$ を通る直線との交点 $(x,y)$ として得られる。

　直線の方程式 $y=t(x-x_{0})+y_{0}$ を円錐曲線の式に代入すると

　 $ax^{2}+c \{ t(x-x_{0})+y_{0} \}^{2}-d=0$

　 $ax^{2}+c \{t^{2}(x-x_{0})^{2}+2y_{0}t(x-x_{0})+y_{0}^{2}\}-d=0$

　 $(a+ct^{2})x^{2}+(-2ct^{2}x_{0}+2y0tc)x+ct^{2}x_{0}^2-2cy_{0}x_{0}t+cy_{0}^2-d=0$

　 $x,x_{0}$ がこの方程式の解なので、

　 $x+x_{0}=(2cx_{0}t^{2}-2cy_{0}t)/(a+ct^{2})$
　 $x=(cx_{0}t^{2}-2cy_{0}t-ax_{0})/(a+ct^{2})$
　 $y=y_{0}+t(x-x_{0}) \\ \hspace{7pt}=y_{0}+t(-2cy_{0}t-2ax_{0})/(a+ct^{2}) \\ \hspace{7pt}=(-cy_{0}t^{2}-2ax_{0}t+ay_{0})/(a+ct^{2})$

　このように、解 $x,y$ は $t$ の有理式として表される。

　 $-a/c$ が平方剰余のとき：

　 $a+ct^{2}=0$ の解となる2つの $t$ 以外の $t$ に対応する $p-2$ 個の解、および $(x_{0},y_{0})$ の計 $p-1$ 個の解がある。

　 $-a/c$ が平方非剰余のとき：

　 $t$ に対応する $p$ 個の解および $(x_{0},y_{0})$ の計 $p+1$ 個の解がある。

　 $2)\hspace{5pt} z=0$ のとき:

　 $-a/c$ が平方剰余のとき：

　 $ax^{2}+cy^{2}=0$ の解が2個ある。

　 $-a/c$ が平方非剰余のとき：

　 $ax^{2}+cy^{2}=0$ の解はない。

　以上の $1),2)$ より、①がいえた。

②　この円錐曲線上に有理点 $(x_{0},y_{0})$ が存在することを示す。

　 $-a/c$ が平方剰余のとき：

　 $k \in F_{p}$ が存在し、 $-a/c=k^2$ よって、

　 $ax^{2}+cy^{2}=a(x^{2}-k^{2}y^{2})=a(x+ky)(x-ky)=d$

　 $x=(d/a+1)/2,\hspace{5pt}y=(d/a-1)/2\cdot k$ とおけば

　 $x+ky=d/a,\hspace{5pt}x-ky=1$ となり解があることがわかる。

　 $-a/c$ が平方非剰余のとき：

　 $d/a$ または $d/c$ が平方剰余であれば、 $y=0$ または、 $x=0$ とする解があることは容易にわかる。

　 $d/a$ も $d/c$ も平方非剰余とするとき、 $y$ が $F_{p}$ 全体を動くとき、 $-c/ay^{2}+d/a$ の値域を考える。
　 $F_{p}$ は0、平方剰余、平方非剰余の3種類の共通部分のない集合の和である。また、平方剰余の集合と非平方剰余の集合の元の数は等しい。
　 $y$ が $F_{p}$ を動くとき $-c/ay^{2}$ は、 $y=0$ であれば $0$ 、平方剰余の集合は平方非剰余に、非平方剰余の集合は平方剰余に写される。これに $d/a$ を足すと $0$ は平方非剰余に、平方非剰余（もともとの平方剰余）のうちの一つは0になるので、平方剰余（もともとの平方非剰余）のうちの一つは平方剰余になることがわかる。これは、 $x^{2}=-b/ay^{2}+d/a$ が解を有することを意味する。

　以上で②がいえた。

$(b)$

　 $b^{2}=4ac$ ならば円錐曲線の式は $a(x+b/(2a)y)^{2}=dz^{2}$
　 $d/a$ が平方非剰余ならば、解は　 $x+b/(2a)y=0,z=0$ の一つのみ。
　平方剰余ならば、 $z=0$ のとき $x+b/(2a)y=0$ の解が一つある。
　　　　　　　　　 $z=1$ のとき $d/a=k^2$ とするとき $x+b/(2a)y=±k$ を満たす解が2p個ある。よって、計 $2p+1$ 個の解がある。

例について

$p=3$ 　とする。

$(a)$ の例： $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ の斉次座標での解は、 $(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1),(1,0,2)$

$(b)$ の $d/a$ が平方非剰余の例： $x^{2}+xy+y^{2}=2z^{2}$ の斉次座標での解は、 $(1,2,0)$ のみ

$(b)$ の $d/a$ が平方剰余の例： $x^{2}+xy+y^{2}=z^{2}$ の斉次座標での解は、 $(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1),(1,0,2),(1,1,0),(1,2,1),(1,2,2)$ の7個

4.2【問題】
　素数 $p=3,7,11,13$ について、有限体上の楕円曲線 $C:y^{2}=x^{3}+x+1$ の有理点群 $C(\mathbb {F}_{p})$ を求めよ。

【解答の流れ】

$\mathbb {Z}$ 係数の多項式 $f(x)=x^3+x+1$ について

$f(0)=1,f(1)=3,f(2)=11,f(3)=31,f(4)=69,f(5)=131,f(6)=223, \\ f(7)=351,f(8)=521,f(9)=739, f(10)=1011,f(11)=1343,f(12)=1741$ である。

次に $f(x)$ の値を $mod\hspace{5pt} p$ で平方剰余かどうか考えて $C(\mathbb {F}_{p})$ を求める。

・ $p=3$ のとき

　 $f(0)=1, f(1)=0,f(2)=2$ であり、 $2$ は $\mathbb {F}_{3}$ で平方非剰余。したがって、集合として $C(\mathbb{F}_{3})=\{\mathcal{O}, (0,±1), (1,0)\}$ である。　 $y=0$ の点は1点のみなので、群として $C(\mathbb{F}_{3}) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$

・ $p=5$ のとき

　 $f(0)=1,f(1)=3,f(2)=1,f(3)=1,f(4)=4$ であり、 $3$ は $\mathbb{F}_{5}$ で平方非剰余。したがって、したがって、集合として $C(\mathbb{F}_{5})=\{\mathcal{O},(0,±1),(2,±1),(3,±1),(4,±2)\}$ である。有理点 $P$ の $x$ 座標を $x(P)$ とすると、 $x(2P)=\frac {x^{4}-2x^{2}-8x+1}{4y^{2}}$ である。 $P=(3,1)$ とすると $x(2P)=(3^{4}-2\cdot3^{2}-8\cdot3+1)/(4\cdot1^{2})=0$ よって、 $2P \neq -P$ これより、群として $C(\mathbb{F}_{5}) \cong \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$

・ $p=7$ のとき

　 $f(0)=1,f(1)=3, f(2)=4,f(3)=3, f(4)=6, f(5)=5, f(6)=6$ であり、 $3,5,6$ は平方非剰余。したがって、集合として

　 $C(\mathbb{F}_{7})=\{\mathcal{O},(0,±1),(2,±2)\}$ 　である。また、群として、 $C(\mathbb{F}_{7}) \cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

・ $p=11$ のとき

$f(0)=1, f(1)=3, f(2)=0, f(3)=9, f(4)=3, f(5)=10, f(6)=3,\\ f(7)=10, f(8)=4, f(9)=2, f(10)=10$ であり、 $10,2$ は平方非剰余。　したがって、集合として

　 $C(\mathbb{F}_{11})=\{\mathcal{O},(0,±1),(1,±6), (2,0),(3,±3),(4,±6),(6,±6),(8,±2)\}$

群として、 $C(\mathbb{F}_{11}) \cong \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}$

・ $p=13$ のとき

$f(0)=1, f(1)=3, f(2)=11, f(3)=5, f(4)=4, f(5)=1, f(6)=2,\\ f(7)=0, f(8)=1, f(9)=11, f(10)=10, f(11)=4, f(12)=12$ であり、 $11,5,2$ は平方非剰余。したがって、集合として、

$C(\mathbb{F}_{13})=\{\mathcal{O},(0,±1),(1,±4),(4,±2),(5,±1),(7,0),(8,±1),(10,±6),(11,±2),(12,±5)\}$ である。 $P=(1,4)$ 　とすると $x(2P)=(1^{4}-2\cdot1^{2}-8\cdot1+1)/(4\cdot4^{2})=8$ である。また、点 $(4,2),(5,1),(8,1),(10,6),(11,2),(12,5)$ の $2$ 倍の $x$ 座標は、それぞれ $8,4,11,10,4,11$ である。したがって、位数が $3$ の元は $(10,±6)$ しかない。よって、 $C(\mathbb{F}_{13}) \cong \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ 　である。