メモ42 有限体Fpにおける原始根の3の倍数乗+1の分布についての予想

[追記:2024-8-13]

について確認したところ、原始根 について　 でのべき指数が となる数は、 となり、予想が成り立たないことがわかりました。残念。ちなみに200以上、500以下の該当の素数についての結果は以下のとおりです。平均的であることは変わりませんが、差が少し大きくなるようです。

 　原始根　　指数0の元の数　　指数1の元の数　　指数2の元の数

1. はじめに

　有理数体上の楕円曲線 ( :自然数）を有限体 で考えた時の 有理点の数について、 であれば の の倍数乗 は の原始根）の分布が分かれば、かなり明確になるとの感触を得た。 が小さい場合についていくつか調べてみると、以下が成り立つ。これが が大きい場合でも成り立ってくれると有難い。

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【予想】

を で と合同な素数とするとき、

を のべき乗であらわした時の指数を で考え、指数が となる個数について、偶数のときはそのまま、奇数のときは を加えた数は、全体として、

　 に等しい。ただし、 は の原始根とする。

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 メモ40,41は、この予想を示すための準備として取り組んだが、ほとんど役に立っていないし、今後の取り組み方の見当がつかない。

　このメモは、 が小さい時の例を備忘録として残すものである。

2. 素数pが小さく、p≡1 (mod 18)　のときの　原始根の3の倍数乗+1の分布

　結果は表のとおりである。

　つまり、 の元に を加えた時、その元を のべき乗であらわし、そのべき指数を で考えたとき、それほど極端な分布にならず、平均的な所に落ち着くが の場合を除き個数が等しくなることもない、ことが面白い。原始根 の取り方によらず同じ結果になるかどうかも確かめなければいけない。