メモ41　有限体Fpの乗法群から有限体Fpへの写像の全射性に関する予想(その2）

1. はじめに

　メモ40で以下の予想を示し、 $p≡7$ または $13 (mod \ 18)$ のとき以外では予想が正しいことを示した。

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【予想】

$p$ を $2,3,7,13$ 以外の素数とするとき、以下の有限体 $F_{p}$ の乗法群 $F_{p}^{*}$ から $Fp$ への写像は全射である。

$F_{p}^{*} \times F_{p}^{*} ∋ (x,y) ↦ x^{3}+y^{3} ∊ Fp$

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　 $p≡7$ または $13 (mod \ 18)$ かつ $p≠13$ のときでも、予想が成り立つことがわかったので、メモとして記すこととする。相変わらず分かりにくい証明なので、スカッと説明できる証明があれば是非ご教示下さい。

2. 予想の証明

　メモ40では、以下の命題1，2をもとに予想の写像の全射性を示した。

命題1： $p≡1(mod \ 3) p \ne 7$ のとき $1+α^{3i} (0 \leq i \lt (p-1)/3)$ の中で、 $α^{3j+1}$ 及び $α^{3k+2}$ の形の元が存在する。ただし、 $α$ は素数 $p$ に関する原始根とする。

命題2： $p≡1(mod \ 18)$ のとき $1+α^{3i} (0 \leq i \lt (p-1)/3)$ の中で $α^{3j}$ の形の元が存在する。ただし、 $α$ は素数 $p$ に関する原始根とする。

　予想を証明するには、命題2が $p≡1(mod \ 18)$ という条件がなくとも成り立つことを示せばよい。

このため、以下の命題が成り立つことを示す。

命題2’： $p≡1 (mod \ 3), \ p \ne 7,13$ のとき、 $1+α^{3i} (0 \leq i \lt (p-1)/3)$ の中で $α^{3j}$ の形の元が存在する。ただし、 $α$ は素数 $p$ に関する原始根とする。

（証明）

　 $F_{p}^{*}$ の元を $1,2,3, \cdots ,p-1$ と並べる。これらを $α^{i}$ であらわしたとき、 $mod \ 3$ でのべき指数 $i$ を単にべき指数と呼ぶことにする。 $0 \lt i \leq (p-1)/2$ に対し、 $i$ と $p-i$ のべき指数は同じである。つまり、 $(p-1)/2$ と $(p-1)/2+1$ を境にべき指数は鏡像の関係にあることに注意する

$1=α^{0}, p-1=α^{(p-1)/2}$ なので $1,p-1$ のべき指数は $0$ である。

命題を証明するには、べき指数 $0$ の元が隣接しないとして矛盾することをいえばよい。

$1$ のべき指数は $0$ であるので $2$ のべき指数は $1$ か $2$ である。今、 $2$ のべき指数を $1$ であるとする。

すると $4=2^{2}$ のべき指数は $2$ である。 $3$ のべき指数を $0$ とすると

　 $3^{2}=2 \cdot 4+1$ であり $3^{2}$ 及び $2 \cdot 4$ のべき指数は $0$ であるので矛盾。したがって、 $3$ のべき指数は $1$ か $2$ である。

　次に $p \ne 7$ なのでべき指数 $0$ の元は $4$ つ以上ある。 $1,p-1$ でないべき指数 $0$ の元の両側の元のべき指数は $2$ である。べき指数 $0$ の元を $b$ とし $b-1$ と $b+1$ のべき指数が同一でないとすると、そのべき指数は $0$ ではないので、 $(b-1) \cdot (b+1)$ のべき指数は $0$ である。

　 $b^{2}=(b-1) \cdot (b+1)+1$ なのでべき指数 $0$ の元が隣接することになる。

また、両側のべき指数が $1$ とすると $b-1=α^{3k+1}, b+1=α^{3k’+1}$ となる自然数 $k,k’$ が存在する。

$2=α^{3k’+1}-α^{3k+1}=α^{3k+1}(α^{3(k’-k)}-1)$ なので　 $2$ のべき指数が $1$ であることから、 $α^{3(k’-k)}-1$ のべき指数は $0$ となる。これは、べき指数 $0$ の元が隣接することになり矛盾。

　さらに、 $(p-1)/2=α^{l}$ とすると $(p-1)/2+1=-α^{l}$ であるので、両者の差をとって $1=-2α^{l}$

これより、 $(p-1)/2$ のべき指数は $2$ であることがわかる。

　以上により、 $1$ でも $p-1$ でもないべき指数 $0$ の元の両側はべき指数 $2$ の元であることが分かった。

そうすると、べき指数 $0,1,2$ の元の総数は $(p-1)/3$ であり、 $(p-1)/2$ と $(p-1)/2+1$ を境にべき指数は鏡像の関係にあるので $1$ から $(p-1)/2$ までの間で、べき指数 $0,1,2$ の元の総数は $(p-1)/6$ であり、 $(p-1)/2$ のべき指数は $2$ である。

　したがって、 $1$ から $(p-1)/2$ までの間で $1$ ではないべき指数 $0$ の元の両側はべき指数 $2$ の元であり、 $(p-1)/2$ のべき指数は $2$ であるので、 $(p-1)/6$ が $3$ より大きな場合、つまり $p \ne 7,13$ であれば $1$ ではないべき指数 $0$ の元の間隔は $1$ でなければならず、かつ、べき指数 $2$ の元はべき指数 $0$ の元に隣接しなければならない。つまり、可能性としては $3$ のべき指数が $1$ か $2$ に応じて以下の $2$ ケースあるのみである。

　数　　ケース①　　ケース②　　［　]はべき指数をあらわす。

　1　　　[0]　　　　　[0]

　2　　　[1]　　　　　[1]

　3　　　[1]　　　　　[2]

　4　　　[2]

　5　　　[0]

　6 　　　[2]

　8　　　[0]

ケース①

　 $4$ は $2^{2}$ なので、 $4$ のべき指数は $2$ 。したがって $5$ のべき指数は $0$ であり。すると、 $6$ のべき指数は $2$ となる。 $8=2^{3}$ なのでべき指数は $0$ である。そうすると、 $7$ のべき指数が0であれば、べき指数 $0$ の元が隣接する。べき指数が $0$ でなければ、べき指数 $0$ の元の間隔が $2$ となり矛盾。