メモ18 タクシー2の素因子 - ES 地面の目印　-数学編‐

　ラマヌジャンのタクシー数1729は、2つの自然数の立方和として2通りに表せる最小の自然数としてあまりに有名である。

$1729=10^3+9^3=12^3+1^3$

である。

　今、2つの自然数の立方和として2通りに表せる自然数をタクシー2と呼ぶことにする。そうすると、小さい方から、1729 , 4104 , 13832 , 20683 , 32832 , 39312 , 40033 , 46683 , 64232 , 65728 ・・・・・　などとなる。　

　タクシー2を素因数分解すると、

1. $1729=7\cdot 13\cdot 19$

2. $4104=2^3\cdot 3^3\cdot 19$

3. $13832=2^3\cdot 7\cdot 13\cdot 19$

4. $20683=13\cdot 37\cdot 43$

5. $32832=2^6\cdot 3^3\cdot 19$

6. $39312=2^4\cdot 3^3\cdot 7\cdot 13$

7. $40033=7^2\cdot 19\cdot 43$

8. $46683=3^3\cdot 7\cdot 13\cdot 19$

9. $64232=2^3\cdot 7\cdot 31\cdot 37$

10. $65728=2^6\cdot 13\cdot 79$

・・・・・・・・

となる。なお、左端の数字は、小さい方から並べた時のタクシー2の順番である（出典：小さい方から1000個のタクシー2のリスト。https://gist.github.com/mjdominus/cc67be601f9e178b3ee7）。注目したいのは、素因子として現れるのは、2, 3 と p≡1　(mod 3) なる素数のみである。　5, 11, 17, 23,・・・など　p≡⁻1 (mod 3)なる素数はタクシー2の素因子になるのだろうか。タクシー2にある数の3乗をかければその数もタクシー2なので、設問としては、p≡⁻1 (mod 3)なる素数はタクシー2の指数1の素因子になるのだろうか、ということになる。

　例えば、５,11,17,23　については以下のとおりである。

131. $7882245 = 3^3\cdot \color{red}5\cdot 7\cdot 19\cdot 439$

98. $4607064 = 2^3 \cdot 3^3\cdot 7 \cdot \color{red}1\color{red}1\cdot 277$

146. $8872487 = 13\cdot \color{red}1\color{red}7\cdot 19\cdot 2113$

325. $43852536 = 2^3\cdot 3^3\cdot 7\cdot 13\cdot \color{red}2\color{red}3\cdot 97$

となる。

　これを　 p≡1　(mod 3)なる素数と比較すると以下のとおりである（赤字が　p≡ー1　(mod 3)なる素数）。

p : 指数1の素因数となるタクシー2の順番

5 : 131

7 : 1

11 : 98

13 : 1

17 : 146

19 : 1

23 : 325

29 :

31 : 7

37 : 2

41 : 541

43 : 2

47 : 951　　 $372243384=2^3\cdot 3^3\cdot 37\cdot \color{red}4\color{red}7\cdot 991$

53 :

59 :

61 : 12

67 : 15

73 : 44

79 : 8

83 :

89 :

97 : 21

・・・

このように、p≡-1　(mod 3)なる素数はタクシー2の素因数としてめったに現れないことがわかる。実際、タクシー2の指数1の素因数となることがあるだろうか。結論から言うと、以下が成り立ち、実際にその数を求めることができる。

命題

p≡-1 (mod 3)なる素数pを指数1の素因数とするタクシー2が存在する。

(説明）

　タクシー2は

　 $x^3+y^3=z^3+w^3$

を満たし、どの数も相異なる自然数解である。この不定方程式の有理数解は、以下で与えられる（出典：ウィキペディア）。

$x=t\{1-(a-3b)(a^2+3b^2)\}$ $y=t\{(a+3b)(a^2+3b^2)-1\}$

$z=t\{(a+3b)-(a^2+3b^2)^2\}$ $w=t\{(a^2+3b^2)^2-(a-3b)\}$

これらの立方和を求めると

$x^3+y^3 = z^3+w^3$

$= 18b\cdot t^3(a^2+3b^2)(a^6+9a^4b^2+27a^2b^4+27b^6-2a^3-6ab^2+1)$

となる。

p≡⁻1 (mod 3) なるpに対し、　t, a, b を　（1）~（5）の条件を満たすようにとれれば、求めるタクシー２が得られる。

　（1）tとaは分子分母ともpに割り切れない

　（2）bの分母はpで割り切れない。分子はpで割り切れるが

$p^2$ で割り切れない

　（3） $a^2+3b^2$ 　の分子分母ともにpで割り切れない。

　（4） $a^6+9a^4b^2+27a^2b^4+27b^6-2a^3-6ab^2+1$

　　　　　の分子分母はpで割り切れない

　（5）x,y,z,w はすべて自然数

今、　 $a=a’/k, b=p/k, t=k^4$ で a', k は自然数でｐで割り切れないとすると(1),(2)は満たされる。

$a^2+3b^2=\cfrac{a'^2+3p^2}{k^2}$ であるので（3）も満たされる。また、

$a^6+9a^4b^2+27a^2b^4+27b^6-2a^3-6ab^2+1$

$=\cfrac{a'^6+9a'^4p^2+27a'^2p^4+27p^6-2a'^3k^3-6a'k^2+k^6}{k^6}$

$a'^6+9a'^4p^2+27a'^2p^4+27p^6-2a'^3k^3-6a'k^2+k^6$

$\equiv a'^6-2a'^3k^3-6a'k^2+k^6 = (a'^3-k^3)^2 \pmod p$

である。　(3,p-1)=1より　m*3=1+n(p-1)なる自然数m,nが存在する。　

$a'-k=a'^{3m-n(p-1)}-k^{3m-n(p-1)}$

$\equiv a'^{3m-n(p-1)}a'^{n(p-1)}-k^{3m-n(p-1)}k^{n(p-1)}=a'^{3m}-k^{3m}$

$=(a'^3-k^3)(a'^{3(m-1)}+a'^{3(m-2)}k^3+\cdots+a'^3k^{3(m-2)}+k^{3(m-1)}) \pmod p$

であるので、（4）が成り立つためには、a’-kがpで割り切れなければよい。

　次に（5）が成り立つためには、

$x=t\{1-(a-3b)(a^2+3b^2)\} \gt 0$ (6)

$y=t\{(a+3b)(a^2+3b^2)-1\} \gt 0$ (7)

$z=t\{(a+3b)-(a^2+3b^2)^2\} \gt 0$ (8)

$w=t\{(a^2+3b^2)^2-(a-3b)\} \gt 0$ (9)

　であればよい。　t>0, a<3b とすれば　（6）は成り立つ。このとき、

$(a+3b)-(a^2+3b^2)^2 \gt (a+3b)-(9b^2+3b^2)^2=a+3b-144b^4$

$(a^2+3b^2)^2-(a-3b) \gt 3b-a \gt 0$

なので、 $144b^4-3b \lt a \lt 3b$ であれば　(8),(9)が成り立つ。このようなａが存在するためには、

$144b^4-3b \lt 3b$ より $b \lt \cfrac{1}{2 \cdot 3^{1/3}}$

であればよい。このとき、

$(a+3b)(a^2+3b^2) \gt 144b^4((a+3b)^2-6ab-6b^2)$

$\gt 144b^4((144b^4)^2-24b^2)=144b^6(144^2b^6-24)=144(144b^6-1/12)^2-1$

であるので、 $(a+3b)(a^2+3b^2)-1 \gt 0$ であるためには

$144(144b^6-1/12)^2 \gt 2$ 　すなわち　b>0 に注意して

$b^6 \gt \cfrac{1}{144} \cdot \cfrac{1+\sqrt{2}}{12}$ であれば十分である。

また、a,bの分母はkであり、(6),(7),(8),(9)はa,bの4次式以下であるので、x,y,z,wは整数となる。さらに

$(\cfrac {1}{144} \cdot \cfrac {1+\sqrt{2}}{12})^{1/6} \lt b= \cfrac {p}{k} \lt \cfrac {1}{2 \cdot 3^{1/3}}$ 　は

$2 \cdot 3^{1/3} \cdot p \lt k \lt 2 \cdot (\cfrac{27}{1+\sqrt{2}})^{1/6} \cdot p$ 　に同値であることに注意する。

以上より、a,b,kを以下を満たすように選べば求めるタクシー2が得られる。

・　 $2 \cdot 3^{1/3} \cdot p \lt k \lt 2 \cdot (\cfrac{27}{1+\sqrt{2}})^{1/6} \cdot p$ となるkを選ぶ

このとき、 $2 \cdot 3^{1/3} \cdot p \lt 2.9 \cdot p \lt k \lt 2.99 \cdot p \lt 2 \cdot (\cfrac{27}{1+\sqrt{2}})^{1/6} \cdot p$ であるので、p>20であればそのようなkを選べる。次に

　・　 $144 \cfrac{p^4}{k^3}-3p \lt a' \lt 3p$ 　かつ　a'-k　はpで割り切れないように自然数a'を選ぶ

$2.9 \cdot p \lt k \lt 2.99 \cdot p$ 　を満たすkについて

　 $144 \cfrac{p^4}{k^3}-3p = 3p(\cfrac{144}{3} \cdot \cfrac{p^3}{k^3}-1) \lt 3p(\cfrac{144}{3} \cdot \cfrac{1}{2.9^3}-1) \lt 2.91 \cdot p$ であるので　p>25であれば　そのようなa'を選ぶことができる。