メモ31　有限体上の楕円曲線に関する練習問題（その3）

1．はじめに

　Silverman Tate のRational Points on Elliptic Curves（以下,[Sil]と記す）の第4章の練習問題を（未解答を含め）解いてみた結果を記したメモの（その3）です。その2で問題4.8と4.10に言及したので今回はその解答の試みをメモしました。

2.　問題

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【問題4.8】

$p \equiv 3 \pmod 4$ を素数、 $b \in \mathbb{F}_{p}^{*}$ とする。このとき、以下を示せ。
(a) $v^{2}=u^{4}-4b$ は $(p-1)$ 個の解 $(u,v) \ u,v \in \mathbb{F}_{p}$ を有する。
(b) $(u,v)$ が(a)の解であれば、
　　　 $\hspace{10pt}\phi (u,v)=(\frac{1}{2}(u^{2}+v),\frac{1}{2}u(u^{2}+v))$ は楕円曲線 $\hspace{10pt}C:y^{2}=x^{3}+bx$ の点である。
(c) (b)で定義される曲線 $C$ について $\# C( \mathbb{F}_{p})=p+1$ である。

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解答の流れ

(a) $4b=u^{4}-v^{2}=(u^{2}-v)(u^{2}+v)$ より
$a=u^{2}-v, \ a’=u^{2}+v$ とおくと、 $aa'=4b, \ b \in \mathbb{F}_{p}^{*}$ なので　 $a,a' \in \mathbb{F}_{p}^{*}$ であり、 $a'=4b/a$ となる。　
　また、 $u^{2}=(a+a’)/2, \ v=(a’-a)/2$ なので、 $a \in \mathbb{F}_{p}^{*}$ を与えれば(a)の解が2個あるか、1個もないことになる。
$a, \ A$ が同じ $u^{2}$ を定めるのは、
$u^{2}=(a+a’)/2=(A+A’)/2$ とすると $a+4b/a=A+4b/A$ より、 $a-A+4b(A-a)/(aA)=0$ である。 $a≠A$ とすれば $aA=4b$ つまり、同じ $u^{2}$ を与えるのは $a,a'$ のみである。
　 $a$ が $F_{p}^{*}$ を動くとき、 $a’$ も $F_{p}^{*}$ を動く。 $u=0$ とならなければ、 $a$ を与える解 $(u,v)$ が2つ定まるが、 $a'$ も同じ $u^{2}$ を与えるので解の個数は $p-1$ となる。 $u=0$ となるのは $a=-a’$ のときである。つまり $a^{2}=-4b$ のときである。この解の個数は0か2である。0のときは、すでに与えられた方程式の解の個数が $p-1$ 個であることを示した。解が2個のときは、解でない $(p-3)$ 個の $a$ については、それぞれ2個解があるが、 $a$ と $a'$ でダブルカウントするので結局解の個数は $(p-3)$ である。 $a=-a’$ のときは $u=0$ で解は一つであるが、 $a≠a'$ なので、 $a,a’$ について解が一つづつ、計 $p-1$ 個の解がある。

(b)　 $x=1/2(u^{2}+v), \ y=1/2u(u^{2}+v), \ v^{2}=u^{4}-4b$ として $(x^{3}+bx)$ の式の値を計算すると
$\hspace{10pt}x^{3}+bx=\{1/2(u^{2}+v)\}^{3}+b \cdot 1/2(u^{2}+v) \\ =1/8(u^{2}+v) \{(u^{2}+v)^{2}+4b \}=1/8(u^{2}+v) \{u^{4}+2u^{2} \cdot v+v^{2}+4b \} \\=1/8(u^{2}+v) \{u^{4}+2u^{2} \cdot v+u^{4} \}=1/4u^{2}(u^{2}+v) \{u^{2}+v \} \\= \{u(u^{2}+v) \}^{2}=y^{2}$ であるので（b）がいえた。

(c)　 $v^{2}=u^4-4b$ であるので $(u^{2}+v)(u^{2}-v)=4b$ したがって、 $u^{2}+v≠0$ である。
　 $(x,y)= \phi (u,v)=\phi (u’,v’)$ とすると $x≠0$ であり、 $u=y/x, \ v=2x-u^{2}$ となる。したがって、 $\phi$ は単射である。 $x=0$ の解は $(0,0)$ のみであるので、原点である無限遠点を加え　 $\#C(F_{p})=p+1$ である。

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【問題4.10】

$p \equiv 2 \pmod 3$ を素数、 $c \in F_{p}^{*}$ とする。このとき、以下を示せ。

曲線 $C:y^{2}=x^{3}+c$ について $\#C(F_{p})=p+1$

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解答の流れ

　 $F_{p}^{*}$ は乗法に関し位数 $p-1$ の巡回群をなし、 $3∤(p-1)$ なので、 $x≠0$ のとき、 $x→x^{3}$ は $F_{p}^{*}→F_{p}^{*}$ の同型写像。したがって、 $x$ が $F_{p}^{*}$ を動くとき $x^{3}$ は $F_{p}^{*}$ 全体を動く。また、 $x^{3}+c$ は $F_{p}$ から $F_{p}$ への全単射。 $F_{p}$ の元の個数は $p$ 個であるが、その内訳は、0と $p$ に関する平方剰余が $(p-1)/2$ 個、平方非剰余が $(p-1)/2$ 個であり、 $x^{3}+c$ が平方剰余のときに解が2個、平方非剰余のとき解は0個である。

　したがって、 $x^{3}+c≠0$ の場合の $C$ の $F_{p}$ 点は $p-1$ 個である。　 $x^{3}+c=0$ となる場合は解が一つ。これに原点を加え $\#C(F_{p})=p+1$ である。