メモ34　有理数体上で定義されたある代数曲面上の曲線について

1．はじめに

　次のx,yに関する2元2次不定方程式の有理数解について、以前　「ある代数曲面上の有理点を無限個有する有理曲線について」を書いた。

　　　　　 $x^{2}-my^{2}=-a$ 　　　　　　　　　　　　（1）

ここで　 $m=26-23r^{2}+1/5 \cdot r^{4}$

$a=16(1-r^{2})(1+2r^{2}+1/5 \cdot r^{4})$

　その中で、 $r$ をパラメータとする以下の２つの解を得た。

　 $x=20(1-r^{2}), y=4\sqrt{(1-r^{2})}$ 但し $1-r^{2}$ は平方数

　 $x=20/11(r^{2}+3) \sqrt{(r^{2}-1)}, y=8/11 \sqrt{(r^{2}-1)}$ 　但し　 $r^{2}-1$ は平方数

　 $r$ を固定すれば $r=2/3,5/6,3/8,1/9$ についても上の不定方程式(1)は有理数解を有するが、多くの $r$ について同時に解となるようなもの、すなわち、パラメータ解的なものは見つからなかった。

　 $x^{5}+y^{5}=z^{5}+w^{5}$ のパラメータ解を実2次体で求める上で、この2元2次不定方程式のパラメータ解が必要となったので、今回、先の記事でも少し触れた以下の形式の解について検討してみた。

　 $X=Az^{3}+Bz^{2}+C{z}+D$

　 $y^{2}=Ez^{2}+Fz+G$

　 $R=Hz^{2}+Iz+J$ 　　　　　　 $X,R$ については後で触れる。

　結論からいうと新しいものは何も出て来なかったが、備忘録として検討結果を書いておく。

2．復習

　前の記事をいちいち参照するのも面倒なので、復習から始める。

不定方程式（1）において $r$ を明示的に示すと

　　 $x^{2}−(26−23r^{2}+1/5⋅r^{4})y^{2}=−16(1−r^{2})(1+2r^{2}+1/5⋅r^{4})$

となる。左辺を $x^{2}$ の項のみとし、 $r$ の次数についての降順で整理すると

　　 $x^{2}=16/5⋅r^{6}+(1/5⋅y^{2}+144/5)r^{4}−(23y^{2}+16)r^{2}+26y^{2}−16$

となる。さらに、上式を変形すると

　　 $(2/5⋅x)^{2}=(4/5⋅r^{2})^{3}+(1/5⋅y^{2}+144/5)/4⋅(4/5⋅r^{2})^{2}−(23y^{2}+16)/5⋅(4/5⋅r^{2})+4/5^{2}⋅(26y^{2}−16)$

より $X=2/5⋅x, R=4/5⋅r^{2}$ とおくと、 $X$ と $R$ に関する楕円曲線のWeierstrass標準形

$X^{2}=R^{3}+(y^{2}+144)/20⋅R^{2}−(23y^{2}+16)/5⋅R+8/25⋅(13y^{2}−8)$ 　 (2)　　　

を得る。ここで、 $y^{2}$ と $R$ をパラメータ $z$ の2次式として、以下の形の（2）のパラメータ解を考える。なお、 $R$ について $z$ の1次の項が0でない場合は、1次式で置きかえれば1次の項は 0 にできるので、一般性を失わず以下の形としてよい。

　　 $X = Az^{3}+Bz^{2}+C^z+D$

　 $y^{2} = Ez^{2}+F^z+G$ 　　　　　　　(3)

　 $R = Hz^{2}+I$

　この解、 $(X, y^{2},R)$ から $y^{2}$ が平方であり、 $R=4/5⋅r^{2}$ であれば不定方程式(1)の解が得られることになる。

3．得られた結果について

　結果から先に記すと、楕円曲線（2）の解はいろいろと得られたが、2元2次不定方程式（1）の解は、すでに知られているものしか得られなかった。表に得られた結果を記す。

\begin{array}{l|l} solution\ of\ (2) & solution\ of\ (1)\ got\ from\\ & the\ left \ solution\ of\ (2) \\ \hline X =10H \cdot z^{2}+10\cdot I-8 & x=-20\cdot (1-r^{2})\\y^{2}=-20H\cdot z^{2}-20\cdot I+16 & y=\pm 4\cdot \sqrt{(1-r^{2})} \\R =H\cdot z^{2}+I & \\ \hline X =10H \cdot z^{2}-10\cdot I+8 & x=20\cdot (1-r^{2}) \\y^{2}=-20H\cdot z^{2}-20\cdot I+16 & y=\pm 4\cdot \sqrt{(1-r^{2})} \\R =H\cdot z^{2}+I & \\ \hline X =z & \\y^{2}=-1/452 \cdot z^{2}-226256/113 & no \\R =1/9040\cdot z^2+516/565 & \\ \hline X =121/125\cdot z^{3}+16/5\cdot z & x=\pm 160/11\cdot t\cdot (t^{4} - t^{2} + 1)/(1-t^{2})^{3} \\y^{2}=16/25 \cdot z^{2} & y=8/11\cdot 2t/(1-t^2) \\R =121/125\cdot z^{2}+5/4 & r=(1+t^{2})/(1-t^{2}) \\ \hline X =21/25\cdot z^{3}-16/5\cdot z & \\y^{2}=16/5 \cdot z^{2} & no \\R =21/25\cdot z^2+4/5 & \\ \hline X =Az^{3}+Cz & \\y^{2}=Ez^{2}+G & \\R =H z^2+I & \\ A=-1331/500\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}/(t\cdot (113\cdot t+11)^{2}) & \\ C=11/5\cdot (11865\cdot t^{3}+3465\cdot t^{2}+339\cdot t+11) \\ /(113\cdot t+11)/t & \\ E=(1/25)\cdot (14674275\cdot t^{4}+6384500\cdot t^{3} \\ +963490\cdot t^{2}+60500\cdot t+1331)/(t\cdot (113\cdot t+11)^{2}) & not\ known \\ G=(-4/121)\cdot (11\cdot t+1)\cdot (105\cdot t+11)\cdot (495\cdot t^{2} \\ +150\cdot t+11)\cdot (2695\cdot t^{2}+350\cdot t+11)/(t\cdot (105\cdot t^{2}-1)^2) & \\ H=-1331/500\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}/(t\cdot (113\cdot t+11)^{2}) & \\ I=1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t & \\ \hline X =Az^{3}+Cz & \\y^{2}=Ez^{2}+G & \\R =H z^2+I & \\ A=-27951/100\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}/t/(1155\cdot t+113)^{2} & \\ C=11/5\cdot(121275\cdot t^{3} + 35595\cdot t^{2} + 3465\cdot t \\ + 113)/(1155\cdot t+113)/t & \\ E=1/5\cdot (308159775\cdot t^{4}+133402500\cdot t^{3} \\ +20233290\cdot t^{2}+1276900\cdot t+27951)/t/(1155\cdot t+113)^{2} & not\ known \\ G=(-4/121)\cdot (11\cdot t+1)\cdot (105\cdot t+11)\cdot (495\cdot t^{2} \\ +150\cdot t+11)\cdot (2695\cdot t^{2}+350\cdot t+11)/(t\cdot (105\cdot t^{2}-1)^2) & \\ H=-27951/100\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}/t/(1155\cdot t+113)^{2} & \\ I=1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t & \end{array}

4．楕円曲線 (2) のパラメータ解を求める

　それでは楕円曲線(2)の解で(3)の形の解を求める。

4-1　未定係数法

　(3)を(2)に代入すると $z$ の6次式が得られるが、定数項からzの6次の係数まで0となることから、 $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ に関する以下の①~⑦式が成立する。

①　 $5\cdot E\cdot H^{2} + 100\cdot H^{3} - 100\cdot A^{2}=0$

②　 $5\cdot F\cdot H^{2}- 200\cdot A\cdot B=0$

③　 $5\cdot G\cdot H^{2}+10\cdot E\cdot H\cdot I+300\cdot H^{2}\cdot I-100\cdot B^{2} \\ -200\cdot A\cdot C-460\cdot E\cdot H+720\cdot H^{2}=0$

④ $10\cdot F\cdot H\cdot I- 200\cdot B\cdot C - 200\cdot A\cdot D - 460\cdot F\cdot H=0$

⑤ $10\cdot G\cdot H\cdot I+5\cdot E\cdot I^{2}+300\cdot H\cdot I^{2}-100\cdot C^{2} \\ -200\cdot B\cdot D-460\cdot G\cdot H-460\cdot E\cdot I+1440\cdot H\cdot I+416\cdot E-320\cdot H =0$

⑥　 $5\cdot F\cdot I^{2}- 200\cdot C\cdot D - 460\cdot F\cdot I+ 416\cdot F=0$

⑦　 $5\cdot G\cdot I^{2}+100\cdot I^{3} -100\cdot D^{2}-460\cdot G\cdot I+720\cdot I^{2} \\ +416\cdot G-320\cdot I-256=0$

4-2　 $A=0$ の場合

　②より　 $F\cdot H＝０$ 　したがって、 $H=0$ または　 $F=0$

　4-2-1　 $A=H=0$ の場合

　③より $B=0$ 　よって、④は成立。

　⑤　 $5\cdot E\cdot I^{2}-100\cdot C^{2}-460\cdot E\cdot I+416\cdot E=0$ 　より

　　　 $E=100C^{2}/(5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)$

　⑥　 $5\cdot F\cdot I^{2}- 200\cdot C\cdot D - 460\cdot F\cdot I+ 416\cdot F=0$ より

　　　 $F=200C\cdot D/(5\cdot I^2-460\cdot I+416)$

　⑦は　 $D=X, I=R, G=y^2$ とおくと

$5y^{2}\cdot R^{2}+100\cdot R^{3}-100X^{2}-460y^{2}\cdot R+720R^{2}+416y^{2}-320R-256=0$

$X^{2}=R^{3}+1/20\cdot (y^{2}+144)\cdot R^{2}+1/5\cdot (-23y^{2}-16)R+8/25(13y^{2}-8)$

となり、 $(X,R,y^{2})=(D,I,G)$ は(2)の解である。

　よって、（2）の解 $(X_{0},R_{0},y_{0}^{2})$ を一つ与えると

　　 $X=Cz+X_{0}$

　　 $y^{2}=100C^{2}/(5\cdot R_{0}^{2}-460\cdot R_{0}+416)\cdot z^{2} \\ +200C\cdot X_{0}/(5\cdot R_{0}^{2}-460\cdot R_{0}+416)\cdot z+y_{0}^{2}$

　　 $R=R_{0}$

が (2) の解となる。 $10Cz$ を改めて $z$ とおくと

　　 $X=z+X_{0}$

　　 $y^{2}=1/(5\cdot R_{0}^{2}-460\cdot R_{0}+416)\cdot z^{2} \\ +20\cdot X_{0}/(5\cdot R_{0}^{2}-460\cdot R_{0}+416)\cdot z+y_{0}^{2}$

　　 $R=R_{0}$

このとき2番目の式は $(y,z)=(y_{0},0)$ という解をもつので　有理式のパラメータ解をもつことに注意。

具体的には $\alpha =1/(5\cdot R_{0}^{2}-460\cdot R_{0}+416)$ とおくとき

　 $y =(-\alpha \cdot y_{0}\cdot t^{2}+20\alpha \cdot X_{0}\cdot t-y_{0})/(1-\alpha t^{2})$

　 $z = (20\cdot \alpha \cdot X_{0}\cdot t^2-2\cdot y_{0}\cdot t)/(1-\alpha t^{2})$ 　　　　(4)

で与えられる。

　 $R=4/5\cdot r^{2}, X=2/5\cdot x$ であるので、(1)の解の疑似的なパラメータ解として、(2) の解 $(X_{0},R_{0},y_{0}^{2})$ で $5/4\cdot R_{0}$ が平方となる解について

$y,z$ を（4）で与えるとき

$x=5/2\cdot X=5/2(z+X_{0}),y, r=\sqrt (5/4\cdot R_{0})$ は(1)の解である。

　4-2-2　A=F=0　の場合

改めて①~⑦を書き直すと

①　 $5\cdot E\cdot H^{2} + 100\cdot H^{3} =0$

②　は成立

③　 $5\cdot G\cdot H^{2}+10\cdot E\cdot H\cdot I+300\cdot H^{2}\cdot I-100\cdot B^{2}-460\cdot E\cdot H+720\cdot H^{2}=0$

④　 $-200\cdot B\cdot C =0$

⑤　 $10\cdot G\cdot H\cdot I+5\cdot E\cdot I^{2}+300\cdot H\cdot I^{2}-100\cdot C^{2}-200\cdot B\cdot \\ D-460\cdot G\cdot H-460\cdot E\cdot I+1440\cdot H\cdot I+416\cdot E-320\cdot H =0$

⑥　 $-200\cdot C\cdot D =0$

⑦　 $5\cdot G\cdot I^{2}+100\cdot I^{3} -100\cdot D^{2}-460\cdot G\cdot I +720\cdot I^{2} +416\cdot G-320\cdot I-256=0$

④、⑥より　 $C=0$ 　または　 $B=0$ かつ $D=0$

①より　 $H^{2}(E+20H)=0$ であるので　 $H=0$ または　 $H\neq 0, E=-20H$ である。

　4-2-2-1　C=0の場合

　　4-2-2-1-1　H≠0、E=-20Hの場合

　③、⑤、⑦は以下のとおりとなる。

③　 $G\cdot H^{2} + 20\cdot H^{2}\cdot I - 20\cdot B^{2} + 1984\cdot H^{2}=0$

⑤　 $G\cdot H\cdot I + 20\cdot H\cdot I^{2} - 20\cdot B\cdot D - 46\cdot G\cdot H + 1064\cdot H\cdot I - 864\cdot H=0$

⑦　 $5\cdot G\cdot I^{2}+100\cdot I^{3}-100\cdot D^{2}-460\cdot G\cdot I+720\cdot I^{2}+416\cdot G-320\cdot I-256=0$

　③より　 $B=bH$ とおくと $G=-20\cdot I+20\cdot b^{2}-1984$

これを⑤、⑦に代入して

⑤　 $b^{2}\cdot I - 46\cdot b^{2} - b\cdot D + 4520=0$

⑦　 $5\cdot b^{2}\cdot I^{2} - 460\cdot b^{2}\cdot I + 416\cdot b^{2} - 5\cdot D^{2} + 45200\cdot I - 41280=0$

を得る。　⑤より　 $bD=b^{2}\cdot I - 46\cdot b^{2} + 4520$ 　　⑦に $b^{2}$ をかけ、これを代入すると⑦式より

$(b - 10) \cdot (b + 10) \cdot (2541\cdot b^{2} - 255380)=0$ 　

を得る。したがって、 $b=10$ または $-10$

$b=10$ のとき

　 $A=0, \ B=bH=10H,\ C=0, \ D=b\cdot I-46\cdot b+4520/b=10\cdot I-8, \\ E=-20H,F=0, G=-20\cdot I+20\cdot b^{2}-1984=-20I-1864, H$

よって

　 $X=10H\cdot z^{2}+10\cdot I-8$

　 $y^{2}=-20H\cdot z^{2}-20\cdot I+16$

　 $R=H\cdot z^{2}+I$

は、（2）の解。　この場合、　 $I=R-H\cdot z^{2}$ なので、これを1番目と2番目の式に代入すると

　 $y^{2}=-20R-1864=-16r^{2}+16$

よって、 $y=\pm 4\cdot \sqrt{(1-r^{2})}, \ x=-20\cdot (1-r^{2})$

これは、これまでに知られている（1）の解である。

$b=-10$ のとき

　 $A=0, \ B=bH=-10H, \ C=0, \ D=b\cdot I-46\cdot b+4520/b=-10\cdot I+8, \\ E=-20H,F=0, G=-20\cdot I+20\cdot b^2-1984=-20I-1864, H$

よって

　 $X=-10H\cdot z^{2}-10\cdot I+8$

　 $y^{2}=-20H\cdot z^{2}-20\cdot I+16$

　 $R=H\cdot z^{2}+I$

は、（2）の解。　この場合も同様に $y=\pm 4\cdot \sqrt{(1-r^{2})},\ x=20\cdot (1-r^{2})$

これも、これまでに知られている（1）の解である。

　　4-2-2-1-2　H=0の場合

　③、⑤、⑦は以下のとおりとなる。

③　 $-100\cdot B^{2}=0$

⑤　 $5\cdot E\cdot I^{2}-200\cdot B\cdot D-460\cdot E\cdot I+416\cdot E=0$

⑦　 $5\cdot G\cdot I^{2}+100\cdot I^{3}-100\cdot D^{2}-460\cdot G\cdot I+720\cdot I^{2} \\ +416\cdot G-320\cdot I-256=0$

　③より　 $B=0$ となるので、⑤　は　 $5\cdot E\cdot I^{2}-460\cdot E\cdot I+416\cdot E=0$ となる。

　 $5I^{2}-460\cdot I+416=0$ は有理数解を持たないので $E=0$ である。したがって、⑦を満たすD,G,Iが解となる。　

　4-2-2-2　B=D=0の場合

　　4-2-2-2-1　H≠0かつE=-20Hの場合

　③、⑤、⑦は以下のとおりとなる。

③　 $G + 20\cdot I + 1984=0$

⑤　 $G\cdot H\cdot I + 20\cdot H\cdot I^{2} - 10\cdot C^{2} - 46\cdot G\cdot H \\ + 1064\cdot H\cdot I - 864\cdot H=0$

⑦　 $5\cdot G\cdot I^{2} + 100\cdot I^{3} - 460\cdot G\cdot I + 720\cdot I^{2} \\ + 416\cdot G - 320\cdot I - 256=0$

よって　③　より　 $G=-20I-1984$ これを⑤,⑦に代入し、

⑤　 $-C^{2} + 9040\cdot H=0$

⑦　 $565\cdot I - 516=0$

を得る。したがって

　 $A=0,\ B=0,\ C,\ D=0,\ E=-20H=-20\cdot 1/9040C^2=-1/452\cdot C^2, \ F=0, \\ G=-20\cdot I-1984=-20\cdot 516/565-1984=-226,256/113, \ H=1/9040\cdot C^{2},\ I=516/565$

であるので

　 $X=Cz$

　 $y^{2}=-1/452\cdot C^{2}\cdot z^{2}-226,256/113$

　 $R=1/9040\cdot C^{2}\cdot z^{2}+516/565$

は（2）の解。 $Cz$ を改めて $z$ とおくと

　 $X$

　 $y^{2}=-1/452\cdot X^{2}-226,256/113$

　 $R=1/9040\cdot X^{2}+516/565$

は（2）の解。　2番目の $y^{2}$ の式は有理数解を持たない。　よってこの解は(1)の解ではない。

　　4-2-2-2-1　H=0の場合

③、⑤の式は以下のとおりとなる。

③　 $5\cdot E\cdot I^{2} - 100\cdot C^{2} - 460\cdot E\cdot I + 416\cdot E=0$
⑤　 $5\cdot G\cdot I^{2} + 100\cdot I^{3} - 460\cdot G\cdot I + 720\cdot I^{2} + 416\cdot G - 320\cdot I - 256=0$

　よって、③より

$E=100\cdot C^{2}/(5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)$ となる。

　また、⑤より

$G=(-100\cdot I^{3}-720\cdot I^{2}+320\cdot I+256)/(5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)=-4(5\cdot I-4)$

となる。これを⑦に代入して

⑦ $(5\cdot I-4)^{2}=0$

　よって、 $I=4/5$ である。したがって、 $A - I$ は以下のとおりとなる。

$A=0,B=0,C,D=0,E=(125/64) \cdot C^2, F=0, G=0,H=0,I=4/5$

　よって、

$X=C\cdot z$

$y^{2}=125/64\cdot C^{2}\cdot z^{2}$

$R=4/5$

$C\cdot z$ を改めて $z$ とおけば

$X=z$

$y^{2}=125/64\cdot z^{2}$

$R=4/5$

は（2）の解である。しかし、（1）の解とはならない。

4-3　A≠0の場合

4-1 に記した①~⑦を満たす　 $A\neq 0,B,C,D,E,F,G,H,I$ を求めればよい。

⑦の解 $D,G,I$ は、 $D=X, I=R, G=y^{2}$ とおいた時の（2）の解である。そこで、この解が与えられたとする。

①より、 $H^{2}(E+20H)=20A^{2}$ なので $H\neq 0$ である。 $a=A/H$ とおくと $E=-20H+20a^{2}, A=a*H$

さらに②より $FH^{2}=40AB=40aHB$ よって　 $FH=40aB$

④に $a/10$ をかけると

$a\cdot F\cdot H\cdot I- 20\cdot a\cdot B\cdot C - 20\cdot a^{2}\cdot H\cdot D - 46\cdot a\cdot F\cdot H$

$=a\cdot F\cdot H\cdot I- 1/2\cdot F\cdot H\cdot C - 20\cdot a^{2}\cdot H\cdot D - 46\cdot a\cdot F\cdot H$

$=H/2\cdot (2aFI-FC-40a^{2}\cdot D-92\cdot aF)=0$

よって　 $FC=2aFI-40a^{2}\cdot D-92\cdot aF$

⑥より $F(5I^{2}-460\cdot I+416)=200CD$

　以上より、　 $A,E$ は $a$ と $H$ の有理式で表わされ、 $F$ は $C,D,I$ の有理式、 $B$ は $a,H,C,D,I$ の有理式で表される。よって変数を $C,D,H,I,a$ に減らすことができる。

$k=(5I^{2}-460\cdot I+416)$ とおくと

$kF=200CD$

$kaB=1/40\cdot k\cdot FH=5CDH$

また、 $I$ が有理数の時 $k\neq 0$ なので、

$k$ ×②、 $k^{2}\cdot a^{2}$ ×③、 $ka$ ×④、 $ka$ ×⑤、 $k$ ×⑥がそれぞれ0になるとすると $k$ ×②と $k$ ×⑥は定め方から成り立つ。残りは、それぞれ

$k^{2}\cdot a^{2}$ ×③：

$1000\cdot a^{4}\cdot I^{5} - 230000\cdot a^{4}\cdot I^{4} - 1000\cdot a^{3}\cdot C\cdot I^{4} +25\cdot a^{2}\cdot G\cdot H\cdot I^{4} + 500\cdot a^{2}\cdot H\cdot I^{5} \\ + 17094400\cdot a^{4}\cdot I^{3} + 184000\cdot a^{3}\cdot C\cdot I^{3} -4600\cdot a^{2}\cdot G\cdot H\cdot I^{3} - 42400\cdot a^{2}\cdot H\cdot I^{4} \\ - 412307200\cdot a^{4}\cdot I^{2} -8630400\cdot a^{3}\cdot C\cdot I^{2} + 215760\cdot a^{2}\cdot G\cdot H\cdot I^{2} - 4811200\cdot a^{2}\cdot H\cdot I^{3} \\ -500\cdot C^{2}\cdot D^{2}\cdot H + 711127040\cdot a^{4}\cdot I + 15308800\cdot a^{3}\cdot C\cdot I -382720\cdot a^{2}\cdot G\cdot H\cdot I \\ +420413440\cdot a^{2}\cdot H\cdot I^{2} - 318423040\cdot a^{4} - 6922240\cdot a^{3}\cdot C + 173056\cdot a^{2}\cdot G\cdot H \\ -755855360\cdot a^{2}\cdot H\cdot I + 343343104\cdot a^{2}\cdot H=0$

$ka$ ×④：

$D\cdot (5\cdot a^{2}\cdot I^{2} - 460\cdot a^{2}\cdot I - 10\cdot a\cdot C\cdot I + 416\cdot a^{2} +460\cdot a\cdot C + 5\cdot C^{2})=0$

$ka$ ×⑤:

$50\cdot a^{3}\cdot I^{4} - 9200\cdot a^{3}\cdot I^{3} + 5\cdot a\cdot G\cdot H\cdot I^{3} + 100\cdot a\cdot H\cdot I^{4} +431520\cdot a^{3}\cdot I^{2} \\ - 50\cdot a\cdot C^{2}\cdot I^{2} - 690\cdot a\cdot G\cdot H\cdot I^{2} - 3880\cdot a\cdot H\cdot I^{3} -100\cdot C\cdot D^{2}\cdot H - 765440\cdot a^{3}\cdot I \\+ 4600\cdot a\cdot C^{2}\cdot I + 21576\cdot a\cdot G\cdot H\cdot I -485440\cdot a\cdot H\cdot I^{2} + 346112\cdot a^{3} - 4160\cdot a\cdot C^{2} \\ - 19136\cdot a\cdot G\cdot H + 840064\cdot a\cdot H\cdot I -359424\cdot a\cdot H=0$

となる。したがって、（2）の解法としては、⑦の解 $D､G,I$ を求め、さらに、上の3式が成り立つよう $a,H,C$ を定めればよい。

$ka$ ×④より
D=0 または $5\cdot a^{2}\cdot I^{2} - 460\cdot a^{2}\cdot I - 10\cdot a\cdot C\cdot I + 416\cdot a^{2} +460\cdot a\cdot C + 5\cdot C^{2}=0$
後者とすると
$5\cdot a^{2}\cdot I^{2} - 460\cdot a^{2}\cdot I - 10\cdot a\cdot C\cdot I + 416\cdot a^{2} +460\cdot a\cdot C + 5\cdot C^{2} \\ =a^{2} (5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)+a\cdot C\cdot (-10\cdot I+460)+5\cdot C^{2}=0$
$(5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)=0$ は有理数解を持たないので、 $C=0$ とすると $a=0$ 　これは $A\neq 0$ に矛盾。よって $C\neq 0$ より
　　 $(a/C)^{2}\cdot (5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)+(a/C)(-10\cdot I+460)+5=0$
これを $a/C$ の満足する2次方程式とみて判別式をとると、
　　 $(-10\cdot I+460)^{2}-4\cdot 5\cdot (5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)=203280$ これは平方数ではないので、

$(a/C)^{2}\cdot (5\cdot I^{2}-460\cdot I+416)+(a/C)\cdot (-10\cdot I+460)+5=0$ 　と矛盾。したがって、 $D=0$ 　である。

以下 D=0　として話を進める。

　このとき　 $ka$ ×④　は成立する。

⑦より

$100\cdot I^{3} + 5\cdot I^{2}\cdot G + 720\cdot I^{2} - 460\cdot I\cdot G - 320\cdot I + 416\cdot G - 256$

　 $=100\cdot I^{3}+720\cdot I^{2}-320\cdot I-256+Gk=0$

よって　 $kG= -100\cdot I^{3}-720\cdot I^{2}+320\cdot I+256=-4\cdot (5\cdot I - 4)\cdot (5\cdot I^{2} + 40\cdot I + 16)$

したがって　 $I=4/5$ の場合をのぞき $G\neq 0$ である。

　 $I=4/5$ のとき

　この場合、 $G=0$ である。

$k^{2}\cdot a^{2}$ ×③、 $ka$ ×⑤　からそれぞれ

$k^{2}\cdot a^{2}$ ×③　→　 $(-226\cdot a^{2} - 5\cdot a\cdot C + 250\cdot H)=0$

$ka$ ×⑤　　 →　 $(-16\cdot a + 5\cdot C) \cdot (16\cdot a + 5\cdot C)=0$

を得る。　 $C=16/5\cdot a$ を上の式に代入して $-121\cdot a^{2} + 125\cdot H=0$ 　よって　 $H=121/125\cdot a^{2}$

$C=-16/5\cdot a$ を上の式に代入して、 $-21\cdot a^{2} + 25\cdot H=0$ 　よって　 $H=21/25\cdot a^{2}$

以上より、以下の二つの（2）の解を得る。

$A=121/125\cdot a^{3}, \ B=0, \ C=16/5\cdot a,\ D=0,\ E=16/25\cdot a^{2},\ F=0,\ G=0, \\ H=121/125\cdot a^{2}, I=4/5$

$X=121/125\cdot a^{3}\cdot z^{3}+16/5\cdot a\cdot z$

$y^{2}=16/25\cdot a^{2}\cdot z^{2}$

$R=121/125\cdot a^{2}\cdot z^{2}+4/5$

2番目の式より　 $y=±4/5\cdot a\cdot z$ 　これを $X,R$ に代入して

$X=\pm (121/64\cdot y^{3}+4y)$

$R=121/80\cdot y^{2}+4/5$

　 $R=4/5r^{2}$ に注意すれば　2番目の式は　

$r^{2}=(11/8\cdot y)^{2}+1$

これは　 $t$ をパラメータとして

$r= (1+t^{2})/(1-t^{2}),y=8/11\cdot 2t/(1-t^{2})$ という解を有する。

　また、　 $x=5/2\cdot X=\pm 5/2\cdot 1/64\cdot y(121y^{2}+256)$

$=\pm 5/88\cdot t/(1-t^{2})\cdot (121\cdot 16^{2}/11^{2}\cdot t^{2}/(1-t^{2})^{2}+256)$

$=\pm 5/88\cdot t/(1-t^{2})^{3}\cdot (64\cdot t^{2}+256-256\cdot 2\cdot t^{2}+256\cdot t^{4})$

$=\pm 160/11\cdot t\cdot (t^{4} - t^{2} + 1)/(1-t^{2})^{3}$

よって (1) の解を得る。これは以前に知られていた解。

$A=21/25\cdot a^{3},\ B=0,\ C=-16/5\cdot a, \ D=0, \ E=16/5\cdot a^{2},\ F=0,\ G=0, \\ H= 21/25\cdot a^{2},I=4/5$

$X=21/25\cdot a^{3}\cdot z^{3}-16/5\cdot a\cdot z$

$y^{2}=16/5\cdot a^{2}\cdot z^{2}$

$R=21/25\cdot a^{2}\cdot z^{2}+4/5$ は（2）の解

2番目の式より　これは（1）の解にはならない。

　 $I\neq 4/5$ のとき

$kG= -100\cdot I^{3}-720\cdot I^{2}+320\cdot I+256=-4\cdot (5\cdot I-4)\cdot (5\cdot I^{2}+40\cdot I + 16)$

$k^{3}\cdot a^{2}$ ×③、 $k\cdot a$ ×⑤　から

$k^{3}\cdot a^{2}$ ×③：　

$5\cdot a^{2}\cdot I^{3}-690\cdot a^{2}\cdot I^{2}-5\cdot a\cdot C\cdot I^{2}+21576\cdot a^{2}\cdot I+460\cdot a\cdot C\cdot I-19136\cdot a^{2} \\ -416\cdot a\cdot C-22600\cdot H\cdot I+ 20640\cdot H=0$

$25\cdot a^{2}\cdot I^{4}-4600\cdot a^{2}\cdot I^{3}+215760\cdot a^{2}\cdot I^{2} -25\cdot C^{2}\cdot I^{2}-382720\cdot a^{2}\cdot I+2300\cdot C^{2}\cdot I \\ - 226000\cdot H\cdot I^{2} + 173056\cdot a^{2} - 2080\cdot C^{2} +412800\cdot H\cdot I-185600\cdot H=0$

これより

$5\cdot a^{2}\cdot I^{3}-690\cdot a^{2}\cdot I^{2}-5\cdot a\cdot C\cdot I^{2}+21576\cdot a^{2}\cdot I+460\cdot a\cdot C\cdot I-19136\cdot a^{2} \\ -416\cdot a\cdot C=(22600\cdot I- 20640)\cdot H$

$25\cdot a^{2}\cdot I^{4}-4600\cdot a^{2}\cdot I^{3}+215760\cdot a^{2}\cdot I^{2}-25\cdot C^{2}\cdot I^{2}-382720\cdot a^{2}\cdot I+2300\cdot C^{2}\cdot I \\ + 173056\cdot a^{2} - 2080\cdot C^{2} =(226000\cdot I^{2}-412800\cdot I + 185600)\cdot H$

　この2式より $H$ を消去して

$2825\cdot a^{2}\cdot I^{3} - 7740\cdot a^{2}\cdot I^{2} -5650\cdot a\cdot C\cdot I^{2} + 6960\cdot a^{2}\cdot I + 10320\cdot a\cdot C\cdot I \\ + 2825\cdot C^{2}\cdot I + 1216\cdot a^{2} -4640\cdot a\cdot C - 2580\cdot C^{2}=0$

$(2825\cdot I^{3}-7740\cdot I^{2}+6960\cdot I + 1216)\cdot a^{2} +(-5650\cdot I^{2}+10320\cdot I-4640)\cdot a\cdot C \\ +(2825\cdot I- 2580)\cdot C^{2}=0$

よって　　

$Q^{2} =(-5650\cdot I^{2}+10320\cdot I-4640)^{2}-4\cdot (2825\cdot I^{3}-7740\cdot I^{2}+6960\cdot I + 1216) \\ \cdot (2825\cdot I- 2580)=(81920)\cdot (5\cdot I^2 - 460\cdot I + 416)$

$Q^{2}=(2^{7}\cdot 5(I-46))^{2}-2^{16}\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11^{2}$

$(5/22\cdot (I-46))^{2}-(Q/(2^{8}\cdot 11))^{2}=105$

よって、　 $5/22\cdot (I-46)=(105\cdot t^{2}+1)/(2t)$

$I=22/10\cdot (105\cdot t^{2}+1)/t+46=1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t$

$Q=2^{8}\cdot 11\cdot (105\cdot t^{2}-1)/(2t)=2^{7}\cdot 11\cdot (105\cdot t^{2}-1)/t$

$C=11/5\cdot (11865\cdot t^{3} + 3465\cdot t^{2} + 339\cdot t + 11)/ (113\cdot t + 11)/t\cdot a$

または　　 $11/5\cdot (121275\cdot t^{3} + 35595\cdot t^{2} + 3465\cdot t + 113)/(1155\cdot t+113)/t\cdot a$

ちなみに $C$ が前者の時　 $t=-113/1155$ のとき $I=516/565$

よって

$A=aH, \ B=0, \ C$ は上に記載のとおり。 $D=0, \ E=-20H+20\cdot a^{2}, \ F=0$

$G=-4\cdot (5\cdot I-4)\cdot (5\cdot I^{2}+40\cdot I+16)/k=-4\cdot (5\cdot I-4)\cdot (5\cdot I^{2} + 40\cdot I+16) \\ /(5I^{2}-460\cdot I+416)$

$I$ は上のとおり。

次に $H$ を求める。

$5\cdot a^{2}\cdot I^{3}-690\cdot a^{2}\cdot I^{2}-5\cdot a\cdot C\cdot I^{2}+21576\cdot a^{2}\cdot I+460\cdot a\cdot C\cdot I-19136\cdot a^{2} \\ -416\cdot a\cdot C=(22600\cdot I- 20640)\cdot H=40(565\cdot I-516)\cdot H$

したがって、 $I\neq 516/565$ のとき

$H=(5\cdot a^{2}\cdot I^{3}-690\cdot a^{2}\cdot I^{2}-5\cdot a\cdot C\cdot I^{2}+21576\cdot a^{2}\cdot I+460\cdot a\cdot C\cdot I-19136\cdot a^{2} \\ -416\cdot a\cdot C)/40/(565\cdot I-516)$

$t$ を与えた時うまくいくことをsagemathで確認した。（2種類のCについて）結局azの関数となる。

次に $H$ を $t$ の有理式として表わす。

$H=nH/dH$ とするとき

上の $C$ について

$nH=(-1331/500) \cdot (1155\cdot t + 113) \cdot t^{2}\cdot a^2\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^2/{t^{3}\cdot (113\cdot t + 11)\cdot t}$

$dH= (113\cdot t + 11)\cdot (1155\cdot t + 113)/t$

よって

$H=(-1331/500)\cdot t^{2}\cdot a^{2}\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2}/(t^{3}\cdot (113\cdot t + 11)^{2})$

$=(-1331/500)\cdot a^{2}\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2}/(t\cdot (113\cdot t + 11)^{2})$

このとき　

$E=(1/25)\cdot a^{2}\cdot (14674275\cdot t^{4}+6384500\cdot t^{3}+963490\cdot t^{2}+60500\cdot t+1331) \\ /(t\cdot (113\cdot t+11)^{2})$

$G=(-4/121)\cdot (11\cdot t+1)\cdot (105\cdot t+11)\cdot (495\cdot t^{2}+150\cdot t+11)\cdot (2695\cdot t^{2}+350\cdot t+11) \\ /(t\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2})$

下の $C$ について、同様に

$nH=(-27951/100) \cdot (113\cdot t + 11) \cdot t^{2} \cdot a^{2}\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2} /(t^{3}\cdot (1155\cdot t+113)\cdot t)$

$dH=(113\cdot t + 11) \cdot (1155\cdot t + 113)/t$

よって　 $H=(-27951/100)\cdot t^{2}\cdot a^{2} \cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2}/(t^{3}\cdot (1155\cdot t+113)^{2})$

$=(-27951/100)\cdot a^{2}\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}/(t\cdot (1155\cdot t+113)^{2})$

このとき、 $E＝(1/5)\cdot a^{2}\cdot (308159775\cdot t^{4} + 133402500\cdot t^{3} +20233290\cdot t^{2} +1276900\cdot t + 27951) \\ /(t\cdot (1155\cdot t + 113)^{2})$

$G=(-4/121)\cdot (11\cdot t + 1)\cdot (105\cdot t + 11)\cdot (495\cdot t^{2} + 150\cdot t + 11)\cdot (2695\cdot t^{2} + 350\cdot t + 11) \\ /(t\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2})$

ちなみに　上の $C$ で $t=3$ とすると

$A= -74131376/11484375\cdot a^{3}\hspace{5pt}, \ B= 0\hspace{5pt},\ C=1939124/2625\cdot a\hspace{5pt},\ D= 0 \hspace{5pt} \\ E=342463004/2296875\cdot a^{2} \hspace{5pt},\ F= 0\hspace{5pt},\ G= -21553782911/1263603\hspace{5pt},\\ H=-74131376/11484375\cdot a^{2} \hspace{5pt} I= 11096/15$

下の $C$ で $t=3$ とすると

$A= -518919632/80013025\cdot a^{3},\ B= 0,\ C= 19829084/26835\cdot a,\ D=0,\\ E=2395730628/16002605\cdot a^{2},\ F=0,\ G=-21553782911/1263603,\\ H=-518919632/80013025\cdot a^{2} I= 11096/15$

$D=0$ のケースの（2）の解をまとめると

　　 $X = Az^{3}+Bz^{2}+C^z+D$

　 $y^{2} = Ez^{2}+F^z+G$ 　　　　　　　　　　　　　

　 $R = Hz^{2}+I$

のとき以下のア、イは（2）の解

\begin{array}{l|l|l} & ア & イ \\ \hline A & (-1331/500)\cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2} & (-27951/100)\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2} \\ & /(t\cdot (113\cdot t + 11)^{2})\cdot a^{3} & /(t\cdot (1155\cdot t+113)^{2})\cdot a^{3} \\ \hline B & 0 & 0 \\ \hline C & 11/5\cdot (11865\cdot t^{3} + 3465\cdot t^{2} + 339\cdot t & 11/5\cdot (121275\cdot t^{3} + 35595\cdot t^{2} + 3465\cdot t \\ & + 11)/ (113\cdot t + 11)/t\cdot a & + 113)/(1155\cdot t+113)/t\cdot a \\ \hline D & 0 & 0 \\ \hline E & (1/25)\cdot (14674275\cdot t^{4}+6384500\cdot t^{3} & (1/5)\cdot (308159775\cdot t^{4} + 133402500\cdot t^{3} \\ & +963490\cdot t^{2}+60500\cdot t+1331) & + 20233290\cdot t^{2} +1276900\cdot t + 27951) \\ & /(t\cdot (113\cdot t+11)^{2})\cdot a^{2} & /(t\cdot (1155\cdot t + 113)^{2})\cdot a^{2} \\ \hline F & 0 & 0 \\ \hline G & (-4/121)\cdot (11\cdot t+1)\cdot (105\cdot t+11) & (-4/121)\cdot (11\cdot t+1)\cdot (105\cdot t+11) \\ & \cdot (495\cdot t^{2}+150\cdot t+11)\cdot (2695\cdot t^{2} & \cdot (495\cdot t^{2}+150\cdot t+11)\cdot (2695\cdot t^{2} \\ & +350\cdot t+11)/(t\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}) & +350\cdot t+11)/(t\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2}) \\ \hline H & (-1331/500) \cdot (105\cdot t^{2} - 1)^{2} & (-27951/100)\cdot (105\cdot t^{2}-1)^{2} \\ & /(t\cdot (113\cdot t + 11)^{2})\cdot a^{2} & /(t\cdot (1155\cdot t+113)^{2})\cdot a^{2} \\ \hline I & 1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t & 1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t \end{array}

この2つの（2）の解で（1）の解になる場合はあるだろうか。

$R=4/5\cdot r^{2}=Hz^{2}+I$ なので
$a\cdot z$ を改めて $z$ と置けば
とおくと (ア)の場合　　　　　　　　　　　　
$r^{2} =5/4\cdot (-1331/500)\cdot (105\cdot t^{2}-1)^2/ \{ t\cdot (113\cdot t+ 11)^{2} \} z^{2}+1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t \\ =5/4\cdot (-1331/500)/t\cdot \{ (105\cdot t^{2}-1)/(113\cdot t+ 11)\cdot z \} ^{2}+1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t \\ =-11/t\cdot \{ 11/20\cdot (105\cdot t^{2}-1)/(113\cdot t+ 11)\cdot z \} ^{2}+1/5\cdot (1155\cdot t^{2}+230\cdot t+11)/t$