メモ36　楕円曲線 y^2=x^3+a^2*x^2-b^2*x の有理解について

(10/27追記)いつも記事を読んで下さるNさんから記事の楕円曲線Eの有理点について、記事にあるもの以外に

　 $(-16 \cdot (s^{10}+1)^{2}, 48 \cdot (s^{10}+1)^{3})$ 　も解であり、これは記事にある有理点とは独立のようだ、というご指摘をいただきました。

　確かにこれも有理点であり、s=2とした場合の $Q$ 上の楕円曲線のrankと生成元をsagemathにより求めると、

　 $(-16 \cdot (s^{10}+1)^{2}, 48 \cdot (s^{10}+1)^{3})$ 　と

　 $(20(s^{20}-1),10 \cdot s^{5} \cdot 20(s^{20}-1))$ は独立であることがわかりました。したがって、楕円曲線 $E$ のrankは2以上となります。

1. はじめに

　以下の $Q(s)$ 上の楕円曲線 $E$ の有理解を見つけるという問題に出会った。

　　　 $Y^{2}=T^{3}+100 \cdot s^{10} \cdot T^{2}-20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2} \cdot T \hspace{20pt} (E)$

変形すると

　　　 $Y^{2}=T \cdot \{ T^{2}-20^{2} \cdot (s^{20}-1)^2 \} +(10 \cdot s^{5} \cdot T)^{2}$

となるので $T= \pm 20(s^{20}-1) \ Y= \pm 10 \cdot s^{5} \cdot T$ は、楕円曲線　 $E$ の有理解である。

　 $E$ で $s$ に有理数を代入すると、 $Q$ 上の楕円曲線が得られる。この楕円曲線の有理点群のランクをいくつかの $s$ についてsagemathで求めると以下のようになる。

　　　　 $s : \ \ rank$

　　　　0　　　1

　　　　1 　楕円曲線にならない。

　　　　3/2　　5

　　　　4/3　　4

　　　　2　　　3

　　　　3　　　5

　　　　4　　途中でエラー

　　　　1/2　　3

　　　　1/3　　5

　　　　2/3　　5

　　　　1/4　途中でエラー

　　　　3/4 　　4

　このように、 $s \neq 0,1$ であればrankは3以上となるので、 $E$ には上記以外の有理解があるのではないかと期待した。

　なお、 $E$ で $s$ を $1/s$ とすると

　　　 $Y^{2}=T^{3}+100/s^{10} \cdot T^{2}-20^{2}(1/s^{20}-1)^{2} \cdot T$

　両辺に $s^{60}$ を掛けると

　　　 $(s^{30} \cdot Y)^{2}=(s^{20} \cdot T)^{3}+100 \cdot s^{10} \cdot (s^{20} \cdot T)^{2}-20^{2} \cdot (1-s^{20})^{2} \cdot (s^{20} \cdot T)$

となるので、 $E$ に有理数 $s$ と $1/s$ を代入した時の楕円曲線のrankは同一となる。

　そこで、以下の2つについて少し考えてみた。

$A:$ 楕円曲線 $E$ について有理点 $( \pm 20(s^{20}-1), \pm 200 \cdot s^{5} \cdot (s^{20}-1))$ とは独立な有理点を見つける。

$B: a,b$ を $s$ の有理関数としたとき、 $Q(s)$ 上の楕円曲線 $F: y^{2}=x^{3}+a^{2} \cdot x^{2}-b^{2} \cdot x$ の有理点を見つける。

　 $A,B$ についての補足は以下のとおり。

$A$ について：

　上記のように、 $Q(s)$ 上の楕円曲線の $s$ に具体的な値を入れて $Q$ 上の楕円曲線を得ることをspecializationといい、有限個の有理数を除いて、 $Q(s)$ の楕円曲線の有理点群から $Q$ 上の楕円曲線の有理点群への準同型は単射となるようだ（Silverman’s Specialization Theoremによる）。

　したがって、上の楕円曲線 $E$ をspecializationした楕円曲線のrankが3以上だからといって、 $E$ のランクが2以上になるとは限らない。しかし、他の有理解が見つかると別の問題を考える上で好都合なので、敢えて考えることにした。

$B$ について：

　 $Q(s)$ 上の楕円曲線 $E$ の $x^{2}$ の係数と $x$ の係数の符号を変えたものは、ともに2乗の形をしているので、以下の $Q(s)$ 上の楕円曲線 $F$ で有理点を考えるとどうなるか興味があった。

　　　 $y^{2}=x^{3}+a^{2} \cdot x^{2}-b^{2} \cdot x \hspace{10pt} (F)$

　ここで $a,b$ は正の有理数とする。

　 $A,B$ ともに特に結果といえる結果は出なかったが、備忘録としてメモしておく。

2. 問題A

　楕円曲線 $E$ は

　　　 $Y^{2}=T^{2} \cdot [ \{ T^{2}-20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2} \}+(10 \cdot s^{5})^{2} \cdot T ]/T$

と書けるので、有理解 $\neq 0$ があれば $s$ の有理関数dが存在して

　　　 $\{ T^{2}-20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2} \}+(10 \cdot s^{5})^{2} \cdot T=d^{2} \cdot T$

　　　 $T^{2}+ \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \} T-20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}=0$

これを $T$ に関する2次方程式とみれば、 $s$ の有理関数 $D$ があって、

　　　 $D^{2}= \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \}^{2}+4 \cdot 20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2} \\= d^{4}-200 \cdot s^{10} \cdot d^{2}+20^{2} \cdot (4 \cdot s^{40}+17 \cdot s^{20}+4)$

となる。

　ここで、

　　　 $d=A \cdot s^{10}+B \cdot s^{5}+C$

　　　 $D=G \cdot s^{20}+H \cdot s^{15}+I \cdot s^{5}+J \cdot s+K$

　　　　ただし、 $A,B,C,G,H,I,J,K$ は有理数

となる解がないかどうか未定係数法でsgemathを使って調べた。ただ面倒なだけなので途中の計算は省くが、 $A=C=0, B= \pm 10$ という解、つまり $d= \pm 10 \cdot s^5$ しかなかった。このとき、

$T^{2}=20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}$ であるから、これはすでに知られている解である。

　なお、

　　　 $D^{2}= \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \}^{2}+4 \cdot 20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}$

という形をよくよく見ると、 $D= \{ (10 \cdot s^{5})^{2}+d^{2} \}$ という解がありそうな感じがする。

　実際、

　　　 $\{ (10 \cdot s^{5})^{2}+d^{2} \}^{2}= \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \}^{2}+4 \cdot 20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}$

とすると、

　　　 $2 \cdot d^{2} \cdot (10 \cdot s^{5})^{2}=-2 \cdot d^{2} \cdot (10 \cdot s^{5})^{2}+4 \cdot 20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}$

　　　　 $d^{2} \cdot (10 \cdot s^{5})^{2}=20^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}$

　　　　 $d= \pm 2 \cdot (s^{20}-1)/s^{5}$

となる。このとき、

　　　 $T=1/2 [ - \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \} \pm D ]$

　　　 $=1/2 [ - \{ (10 \cdot s^{5})^{2}-d^{2} \} \pm \{ (10 \cdot s^{5})^{2}+d^{2} \} ]$

　　　 $=d^{2}$ または $-100 \cdot s^{10}$

　　　 $T=d^{2}=4 \cdot (s^{20}-1)^{2}/s^{10}$ とすると

　　　 $Y= \pm \{2\cdot (s^{20}-1)/s^{5} \} ^{3}$ となる。

　　　 $T=-100 \cdot s^{10}$ のとき $Y= \pm 200 \cdot s^{5} \cdot (s^{20}-1)$ となる。

　よって、これまでに得られた楕円曲線Eの有理点は、

　　　 $(0,0)$

　　　 $( \pm 20(s^{20}-1), \pm 10 \cdot s^{5} \cdot 20(s^{20}-1))$

　　　 $(-100 \cdot s^{10}, \pm 200 \cdot s^{5} (s^{20}-1) )$

　　　 $(2^{2} \cdot (s^{20}-1)^{2}/s^{10}, \pm 2^{3} \cdot (s^{20}-1)^{3}/s^{15})$

は楕円曲線 $E$ の有理点である。

後で見るように、これらからなる有理点群のランクは1である。

3．問題B

　次の $x,y$ の定める楕円曲線Fを考える。　

　　 $y^{2}=x^{3}+a^{2} \cdot x^{2}-b^{2} \cdot x \hspace{15pt}(F)$

　　　ここで $a,b$ は正の有理数とする。

　問題Ａは $a=10 \cdot s^{5} \ b=20 \cdot (s^{20}-1)$ の場合に相当する。

　 $x=b,y=ab$ はこの曲線上の有理点である。この有理点を $P=(b,ab)$ とする。 $P$ は位数無限大の有理点となる(説明は省く）。

　すぐわかるように $P_{0}=(0,0)$ は位数2の有理点である。

また、 $-P=(b,-ab)$ 、 $P+P_{0}=(-b,ab)$ である。

　つぎに他の有理点を探してみる。

　すぐわかるように $x^{2}+a^{2} \cdot x-b^{2}=d^{2} \cdot x$ となる有理解 $x_{0}$ について、 $(x_{0},d \cdot x_{0})$ はこの曲線上の有理点である( $P$ は $d=a$ の場合に相当する）。このような $x_{0}$ は

　 $x^{2}+(a^{2}-d^{2}) \cdot x-b^{2}=0$ の有理解であるので、有理数 $D$ が存在して

　 $(a^{2}-d^{2})^{2}+4 \cdot b^{2}=D^{2}$

となる。これより、

　 $a^{2}-d^{2}=(1-t^{2})/(1+t^{2}) \cdot D, \ b=t/(1+t^{2}) \cdot D$

としてよい。したがって、

　 $b=t/(1-t^{2}) \cdot (a^{2}-d^{2})$

とすれば、　

　 $x_{0}=1/2 \cdot (-a^{2}+d^{2} \pm D) = t^{2}/(1-t^{2}) \cdot (a^{2}-d^{2})$ または $-1/(1-t^{2}) \cdot (a^{2}-d^{2})$

である。よって $t \neq 1$ のとき $(bt,btd),(-b/t,-b/t \cdot d)$ は有理点である。

$a$ は正の有理数であるので, $k=d/a$ とおけば

　 $b=t/(1-t^{2}) \cdot (1-k^{2}) \cdot a^{2}$

である。ここで $t$ を $-1/t$ におきかえても $b$ は不変であることに注意する。

　よって、 $b$ が正となるように正有理数 $a,k,t$ を定めると $(bt,btak),(-b/t,-b/t \cdot ak)$ は楕円曲線 $F$ の有理点である。なお、この2点を結ぶ直線は原点を通るので、 $(-b/t,-b/t \cdot ak)+(bt,btak)+P_{0}=0$ である。

　次に、この有理点が、 $P$ と $P_{0}$ の生成する有理点群に含まれる場合を考える。

　 $P$ と $P_{0}$ の生成する有理点群で $x$ 座標が正になるのは $P$ または $-P$ に限ること、

　 $2 \cdot P=(b^{2}/a^{2},-b^{3}/a^{3})$

　 $3 \cdot (b,ab)=(b(a^{2}+b)^{2}/(b-a^{2})^2,ab(a^{2}+b)(a^{4}+3b^{2})/(b-a^{2})^{3})$

に注意して、 $bt$ が $P, \ 2 \cdot P, \ 3 \cdot P$ の $x$ 座標に等しい場合をチェックする。

・　 $bt$ が $P$ の $x$ 座標に等しくなる場合

　　 $bt=b$ より $t=1$ これは $b$ の定め方よりありえない。

・　 $bt$ が $2 \cdot P$ の $x$ 座標に等しくなる場合

　　 $b^{2}/a^{2}=bt$ より

　　 $b=t \cdot a^{2}$ 　

このとき、 $b=t/(1-t^{2}) \cdot (1-k^{2}) \cdot a^{2}$ なので、 $t=k$ である。　

・　 $bt$ が $3 \cdot P$ の $x$ 座標に等しくなる場合

　　 $b(a^{2}+b)^{2}/(b-a^{2})^{2}=bt$

よって、 $(a^{2}+b)^2/(b-a^{2})^{2}=t$

　　 $t$ は有理数の平方となるので $t=r^{2}$ とおくと、

　　 $a^{2} \lt b$ のとき

　　 $a^{2}+b=r \cdot a^{2}-r \cdot b$

　　 $(1-r)a^{2}=-(1+r)b=-(1+r)r^{2}/(1-r^{4}) \cdot (1-k^{2}) \cdot a^{2}$

　　 $(1-r)^{2} \cdot (1+r^{2})=-r^{2} \cdot (1-k^{2})$

　　 $k^{2} \cdot r^{2}=(1-2r+r^{2})(1+r^{2})+r^{2}=1-2r+3r^{2}-2r^{3}+r^{4}$

　　 $\hspace{5pt} =(1-r+r^{2})^{2}$

$k$ は正有理数であることに注意すれば

　　 $k=(1-r+r^{2})/r$

以上をまとめると、下の楕円曲線Fにおいて　

　 $y^{2}=x^{3}+a^{2} \cdot x^{2}-b^{2} \cdot x$

　 $b=t/(1-t^{2}) \cdot (1-k^{2}) \cdot a^{2}$

とするとき $P=(b,ab) , Q=(-a^{2},ab)$ は位数無限大の有理点。 $P_{0}=(0,0)$ は位数2の有理点であり、

　 $P+Q=(-b,-ab)$

　 $P+P_{0}=(-b,-ab)$

となる。

　また、 $R=(bt, bt \cdot ak)$ は有理点であるが、 $t=k$ のとき $2 \cdot P$ の $x$ 座標 $= R$ の $x$ 座標、 $t$ が平方数で $k=(t- \sqrt{t}+1)/ \sqrt{t}$ のとき $3 \cdot P$ の $x$ 座標 $= R$ の $x$ 座標である。