メモ37　Q上の楕円曲線の有理点群のrankとanalytic rankのsagemathによる計算例

1. はじめに

　有名なBirch and Swinnerton-Dyer conjectureによると、 $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線 $E$ の有理点群の rank と $E$ の $L$ 関数 $L(E,t)$ の $t=1$ における零点の位数（analytic rank）は等しい。つまり、有理点群の rank を $r(E)$ , analytic rank を $r_{a}(E)$ と記すと $r(E)=r_{a}(E)$ である。

　sagemathには、rank や analytic rank を求める関数が存在するが、その関数によって得られた値は必ずしも正しいとは限らないらしい。

     analytic_rank(algorithm='pari', leading_coefficient=False)

Return an integer that is probably the analytic rank of this elliptic curve.

(出典：https://doc.sagemath.org/html/en/reference/arithmetic_curves/sage/schemes/elliptic_curves/ell_rational_field.html)

　また、 $r_{a}(E) \gt 3$ の場合、それが正しいかどうか証明する方法は見つかっていないらしい。

It is an open problem to prove that any particular elliptic curve has analytic rank ≧4

(出典：上に同じ）

　とはいえ、具体的な例を計算するのも面白そうだったので、以下の楕円曲線族 $E_{s}$ について s に具体的な値を入れて計算してみた。

　　 $Y^{2}=X \cdot (1600 \cdot s^{40} + 6800 \cdot s^{20} - 200 \cdot s^{10} \cdot X + X^{2} + 1600)$

2．Q上の楕円曲線Eの有理点群のrank とanalytic rank の sagemath による計算例

　上にあげた楕円曲線族の　 $s=2/3,4/3$ について以下のコードを実施すると、

$a_{1}=0;a_{3}=0$

$a_{2}=-200 \cdot s^{10}$

$a_{4}=1600 \cdot s^{40}+6800 \cdot s^{20}+1600$

$E=EllipticCurve([a1,a2,a3,a4,a6$ )]
$print \ E$
$print \ E.rank()$
$print \ E.analytic\_rank(algorithm='zero\_sum')$

$s=2/3$ のとき、楕円曲線

　 $y^{2}=x^{3}-1476225/128 \cdot x^{2}+304330130798470605625/17179869184 \cdot x$

が得られ、rank, analytic rank　はともに 5 であった。

　 $s=4/3$ のときは、楕円曲線

　 $y^{2}=x^{3}-209715200/59049 \cdot x^{2}+1960370331596784001446760000/12157665459056928801 \cdot x$

が得られ、rank は 4 、 analytic rankは 6 であった。

　なお、analytic rank のalgorithmには、zero_sum のほかに pari, rubinstein などがあるが、pari, rubinstein　では結果が得られなかった。

sagemathのマニュアルには、

　Of the first three algorithms above, probably Rubinstein’s is the most efficient (in some limited testing done). The zero sum method is often much faster, but can return a value which is strictly larger than the analytic rank. For curves with conductor <=10^9 using default parameters, testing indicates that for 99.75% of curves the returned rank bound is the true rank.

（出典：上に同じ）

とあり、zero_sum アルゴリズムの場合は、本来のanalytic rank より大きな値を返すことがあるようだ。