メモ39　自然数を2通りの自然数の組による2変数整数係数5次斉次式の値としてあらわす

1. はじめに

　「メモ38　自然数を2通りの自然数の組による2変数5次斉次式の値としてあらわす」では、有理数を2通りの有理数の組による2変数5次斉次式の値としてあらわすケースについて紹介した。

2変数5次斉次式としては、以下の形のものを考えた。

　　 $F(x,y)=x^{5}+ax^{4}y+bx^{3}y^{2}+bx^{2}y^{3}+axy^{4}+y^{5}$

　メモ38は、 $F(-x,-y)=-F(x,y)$ 　及び　 $x,y,F(x,y)$ の分母の公倍数の５乗を掛ければ $F(x,y),x, y$ が整数になることに注意すれば、自然数を2通りの整数の組による2変数5次斉次式の値としてあらわすケースといっても同じである（この「整数の組」を「自然数の組」とする場合は、さらに制限がかかることになる）。

　このメモでは、a,bが整数の場合、つまり、自然数を2通りの整数の組による2変数整数係数5次斉次式の値としてあらわすケースについて検討する。

　また、関連して、 $z^{5}=F(x,1)$ という形の代数曲線（特殊な場合を除き非特異）の有理点の例を示した。

　最後に、自然数を2通りの自然数の組による2変数自然数係数5次斉次式の値としてあらわせるケースは、あまり見つけられなかったことを記した。

2．メモ38から得られたケース

　メモ38に記したケースのうち、自然数を2通りの整数の組による2変数整数係数5次斉次式の値としてあらわすケースとして明示的に示したのは、以下のとおりである。

①　 $a=5, b=3a-5=10$ のとき

$F(x,y)=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}=(x+y)^{5}$

よって　 $x+y=z+w$ であれば　 $F(x,y)=F(z,w)$

特に　自然数 $n$ について $F(1,n)=F(2,n-1)=F(3,n-2)=・・・・=F(n,1)=(n+1)^{5}$

②　 $a=1, \ b=-2$ のとき

$F(x,y)=x^{5}+x^{4}y-2x^{3}y^{2}-2x^{2}y^{3}+xy^{4}+y^{5}=(x+y)^{3}(x-y)^{2}$

有理数 $m,n \ne 0,1$ について、　

$F( (1+m^{5})/(2m^{2}),(1-m^{5})/(2m^{2}))=F( (1+n^{5})/(2n^{2}),(1-n^{5})/(2n^{2}))=1$

③　 $a=-3, \ b=2$ のとき

$F(x,y)=x^{5}-3x^{4}y+2x^{3}y^{2}+2x^{2}y^{3}-3xy^{4}+y^{5}=(x+y)(x-y)^{4}$

有理数 $m,n \ne 0,1$ について、　

$F( (m^{5}+1)/(2m),(m^{5}-1)/(2m))=F( (n^{5}+1)/(2n),(n^{5}-1)/(2n))=1$

④　 $a=l^{10}+5, \ b=3l^{10}+10$ のとき

$F(x,y)=x^{5}+(l^{10}+5)x^{4}y+(3l^{10}+10)x^{3}y^{2}+(3l^{10}+10)x^{2}y^{3} \\ +(l^{10}+5)xy^{4}+y^{5}=(x+y)^{3}(x^{2}+(l^{10}+2)xy+y^{2})$

$F( (l^{5}-1)/l^{6},1/l^{6})=F(-(1+l^{5})/l^{6},1/l^{6})=1$

このうち、2通りの自然数の組で自然数をあらわすことができるのは、①、②、③に限る。なおかつ、 $a,b$ ともに自然数となるのは、①のケースのみである。

3. F(x,1)が重根を持たない2変数整数係数5次斉次式により自然数を2通りの整数の組で表現できる例

　 $2.$ にあげた例は $F(x,1)$ がいずれも重根を持つケースであった。ここでは、 $2.$ の4つの例から導ける $F(x,1)$ が重根を持たない例を紹介する。

メモ38で見たように、2変数5次斉次式

$F(x,y)=x^{5}+ax^{4}y+bx^{3}y^{2}+bx^{2}y^{3}+axy^{4}+y^{5}$ について、 $F(x,y)=F(z,w)$ かつ $xyzw \ne 0, \ xz \ne yw, \ xw \ne yz$ となる4つの有理数 $x, \ y, \ z, \ w$ とその時のFの値 $k \ne 0$ を与えれば、 $a, \ b$ は定まる（メモ38命題1）。

　メモ38の【結果3】より、 $F(x,1)$ が重根を持つ場合は、以下の場合に限られる。

　 $1) \ \ b=3a-5$

　 $2) \ \ b=-a-1$

　 $3) \ \ b=1/4(a^{2}+2a+5)$

　以下では、いずれの場合も $(x,y), \ (z,w)$ を与えたとき、 $a, \ b$ は $k$ の関数となり、特定の $k$ を除き、 $F(x,1)$ が重根を持たない例を得ている。

①　 $a=5, b=10$ からの算出

$(x,y)=(m,l-m), (z,w)=(n,l-n) \ \ F(x,y)=F(z,w)=l^{5}-l^{3}mn(l-m)(l-n)k$ とおくと

$a=5+(-lm + m^{2} - ln + n^{2})k$

$b=10+(l^{2} - 3lm + 3m^{2} - 3ln + 3n^{2})k$

となる。　

　整数 $l, \ m, \ n, \ k$ について　 $l \gt m,n \gt 0$ かつ $(1/2, \ 1/2)$ を中心として半径 $1/ \sqrt{6}$ の円内に $(m/l-1/2, \ n/l-1/2)$ が入り、 $k \lt 0$ であれば $a, \ b, \ F(m,l-m)=F(n,l-n)$ は自然数である。　

例： $l=5, \ m=3, \ n=2$ のとき $(m/l-1/2)=1/10, \ (n/l-1/2)=-1/10$

$\hspace{20pt} 1/10^{2}+1/10^{2}=1/50 \lt 1/6$

このとき　 $k=-1$ とすれば $a=17, \ b=21, \ F=7625$

$\hspace{20pt} k=1$ とすれば $a=-7, \ b=-1, \ F=-1375$

②　 $a=1, \ b=-2$ からの算出

$m, \ n, \ p, \ q$ を整数として

$(x,y)=( (m^{5}+p^{5})n^{3}q^{2}, (m^{5}-p^{5})n^{3}q^{2})$

$(z,w)=( (n^{5}+q^{5})m^{3}p^{2},(n^{5}-q^{5})m^{3}p^{2})$

$F(x,y)=F(z,w)=m^{15}n^{15}q^{10}p^{10}(32+8(q^{10}-n^{10})(p^{10}-m^{10})k)$

とすると

$a=1+(m^{10}n^{10}-p^{10}q^{10})k$

$b=-2+(-m^{10}n^{10}-3p^{10}q^{10})k$

となる。

　よって、 $0$ でない整数 $k, \ m, \ n, \ p, \ q$ について $x, \ y, \ z, \ w \gt 0$ になるためには、

$m, \ n \gt 0$ かつ $m \gt |q| , \ n \gt |q|$ または　 $m, \ n \lt 0$ かつ　 $|m| \gt |p|, \ |n| \gt |q|$ が必要。

このとき、 $a, \ b$ が同時に正になることはない。

例： $k=1, \ m=3, \ p=2, \ n =7, \ q=5$ のとき

$a=16669880978202, \ b=-16709880978203$

$F(2358125,1809325)=F(2152656,1477656) \\ \ =86237274378384771733922975651344320000000000$

③　 $a=-3, \ b=2$ からの算出

$(x,y)=( (m^{5}+1)n,(m^{5}-1)n), (z,w)=( (n^{5}+1)m,(n^{5}-1)m)$

$F(x,y)=F(z,w)=8m^{5}n^{5} \{ 4+(m^{10}-1)(n^{10}-1)k \}$

とすると

$a=(m^{10}+n^{10}-2)k-3$

$b=-(m^{10}+n^{10}+2)k+2$

となる。

　したがって、整数 $k, \ m, \ n$ に対し $a,b$ がともに非負整数となることはない。また、自然数 $m, \ n, \ k$ について $m \gt 1, \ n \gt 1$ であれば $x, \ y, \ z, \ w, \ F$ は自然数。

例：　 $k=1, \ m=2, \ n=3$ とすれば、

$a=60068, \ b=-60073$

$F(99,93)=F(488,484)=3757743166464$

④　 $a=l^{10}+5 b=3l^{10}+10$ 　から算出

　 $x=(l^{5}-1), \ y=1, \ z=-(l^{5}+1), \ w=1$

　 $F(x,y)=F(z,w)=l^{20} \{ (l^{10}-1)k+l^{10} \}$

とすると

　 $a=(l^{10}+1)k+5$

　 $b=(4l^{10}+3)k+3l^{10}+10$

となる。

　したがって、整数 $k,l$ に対し $x, \ y, \ z, \ w$ がすべて自然数になることはない。

4. 非特異曲線　 $y^{5}=x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+bx^{2}+ax+1$ の有理点

3. ①~④にあげた例から　それぞれ $y^{5}=F(x,1)$ という形の非特異曲線の有理点が得られる。

①　 $a=5, b=10$ からの算出

　3.①で $l=n$ とすると

$(x,y)=(m,l-m), \ (z,w)=(l,0)$

$a= 5+m(-l+m)k$

$b=10+(l^{2}-3lm+3m^{2})k$

となり

$F(x,y)=F(z,w)=l^{5}$

つまり

　 $l^{5}=x^{5}+ax^{4}y+bx^{3}y^{2}+bx^{2}y^{3}+axy^{4}+y^{5}$

　 $(l/y)^{5}=(x/y)^{5}+a(x/y)^{4}+b(x/y)^{3}+b(x/y)^{2}+a(x/y)+1$

したがって、 $(m/(l-m),l/(l-m) )$ 　は　 $k$ の如何にかかわらずこの5次曲線の有理点である。

②　 $a=1, \ b=-2$ からの算出

3.②で　 $n=q$ とすると

$(x,y)=( (m^{5}+p^{5})n^{5},(m^{5}-p^{5})n^{5})$

$(z,w)=(2n^{5}m^{3}p^{2},0)$

$a=1+n^{10}(m^{10}-p^{10})k$

$b=-2+n^{10}(-m^{10}-3p^{10})k$

となり

$F(x,y)=F(z,w)=m^{15}n^{25}p^{10}32$

つまり

$(2n^{5}m^{3}p^{2})^{5}=x^{5}+ax^{4}y+bx^{3}y^{2}+bx^{2}y^{3}+axy^{4}+y^{5}$

$\{ (2n^{5}m^{3}p^{2})/y \} ^{5}=(x/y)^{5}+a(x/y)^{4}+b(x/y)^{3}+b(x/y)^{2}+a(x/y)+1$

$(2n^{5}m^{3}p^{2})/y=2m^{3}p^{2}/(m^{5}-p^{5})$

$x/y=(m^{5}+p^{5})/(m^{5}-p^{5})$

より　 $( (m^{5}+p^{5})/(m^{5}-p^{5}),2m^{3}p^{2}/(m^{5}-p^{5}) )$ は $k$ の如何にかかわらずこの5次曲線の有理点である。

③　 $a=-3, \ b=2$ からの算出

3.③で　 $n=1, \ m \ne 1$ とすると

$(x,y)=(m^{5}+1, m^{5}-1), \ (z,w)=(2m,0)$

$a=(m^{10}-1)k-3$

$b=-(m^{10}+3)k+2$

となり

$F(x,y)=F(z,w)=32m^{5}n^{5}$

つまり

$(2m)^{5}=x^{5}+ax^{4}y+bx^{3}y^{2}+bx^{2}y^{3}+axy^{4}+y^{5}$

$(2m/y)^{5}=(x/y)^{5}+a(x/y)^{4}+b(x/y)^{3}+b(x/y)^{2}+a(x/y)+1$

$2m/y=2m/(m^{5}-1), \ x/y=(m^{5}+1)/(m^{5}-1)$ より

$(2m/(m^{5}-1), (m^{5}+1)/(m^{5}-1) )$ は $k$ の如何にかかわらずこの5次曲線の有理点である。

④　 $a=l^{10}+5 b=3l^{10}+10$ 　から算出

3.④で　 $k=-1$ または　

$l^{10} \{ (l^{10})^{m}+(l^{10})^{m-1}+ \cdots +(l^{10})+1 \} =l^{10} \{ l^{10(m+1)}-1 \} /(l^{10}-1)$

( $m:$ 非負整数）　なお、 $m=-2$ のとき　 $k=-1$ となることに注意。

のとき

$a=l^{10} \{ l^{10(m+1)}-1 \} (l^{10}+1)/(l^{10}-1)+5$

$b=(4l^{10}+3)l^{10} \{ l^{10(m+1)}-1 \} /(l^{10}-1)+3l^{10}+10$

となり

$(x,y)=( (l^{5}-1), 1), \ (z,w)=(-(l^{5}+1), \ 1)$ について

$F(x,y)=F(z,w)=l^{20} \{ (l^{10}-1) k+l^{10} \} =l^{20} [ l^{10} \{ l^{10(m+1)}-1 \} +l^{10} ]$

$=l^{20}l^{10(m+2)}=l^{10(m+4)}$

$(l^{5}-1,l^{2(m+4)} )$ と $(-(l^{5}+1), \ l^{10(m+4)} )$ は5次曲線の有理点である。

5. 最後に

　結局、自然数を2通りの整数の組による2変数自然数係数5次斉次式の値としてあらわすケースとして求められたのは、以下のとおりである。

整数 $l, \ m, \ n, \ k$ について　

・ $l \gt m, n \gt 0$ かつ $(1/2,1/2)$ を中心として半径 $1/ \sqrt{6}$ の円内に $(m/l-1/2,n/l-1/2)$ が入る。

・ $k \lt 0$ 　

のとき

$a=5+(-lm + m^{2} - ln + n^{2})k$

$b=10+(l^{2} - 3lm + 3m^{2} - 3ln + 3n^{2})k$

$F(m,l-m)=F(n,l-n)=l^{5}-l^{3}mn(l-m)(l-n)k \\ \hspace{110pt} =l^{3} \{ l^{2}-mn(l-m)(l-n)k \}$

はすべて自然数である。