メモ23 　タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合（その2）

1．はじめに

（注）2022年4月14日に誤りを発見し、図1、図2等を訂正しました。タクシー2を与えるa,bのペアは、より狭い範囲となりました。

　メモ22の本文の最後に、「3乗の違いを除けば、タクシー2は、２つの自然数の3乗和としてn通りに書けることになる。」と書いた。つまり、「自然数」を「正の有理数」に変えて、「タクシー2は、２つの正の有理数の3乗和としてn通りに書けることになる。」といっても同じである。本メモでは、それについて調べたことをを書いてみたい。

　ウィキペディアによると「n番目のタクシー数（タクシー数、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。」であり、1954年にハーディらによりTa(n)の存在が証明されたとある。さらに、

　 Ta(1)=2

Ta(2)=1729

Ta(3)=87539319

Ta(4)=6963472309248

Ta(5)=48988659276962496

Ta(6)=24153319581254312065344

としている。

　nが大きくなれば、Ta(n)はものすごく大きくなりそうであるが、 $1729$ であっても　ある自然数 $S$ が存在して、 $1729*S^{3}$ は　2つの立方数の和として n 通りに表わされるのであるから、たかが自然数といっても馬鹿にできない。無限とはどこまでも広がっているものだと実感させられる。ちなみにメモ22の本文の最後に、1729にある自然数の3乗を掛けた数が、2つの立方数の和として4通りに表わされる例を実質的に示している。

　本メモは、メモ22の続きであるので、そこでの定義をそのまま踏襲し、命題の番号は連続させることとする。

2．どのようにパラメータa,b,tを指定すればタクシー2が得られるか。

　3つの有理数 $a, b≠0,t≠0$ に対し、

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$

$p_{2}=6tb, \hspace{40pt} A_{2}=2t \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

とすると、 $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ は広義タクシー2を与える。これがタクシー2を与えるのはどのような場合だろうか。

　そのために、まず、 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ が正になる条件を考える。これは、正の有理数の立方で2通りに表せる自然数を探すことになる。その自然数に $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ の分母の最小公倍数の3乗を掛ければタクシー2が得られることになる。

　メモ22にも書いたように、広義タクシー2の表現には8通りあるが、メモ22の命題2及び $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ がすべて正であるとすると、 $b \gt 0, a^{2}+3b^{2} \leqq 1, t \gt 0$ としてよい。したがって、 $x_{1} \gt 0, y_{1} \gt 0, x_{2} \gt 0, y_{2} \gt 0$ となる $(a,b)$ を求めるには、

①　 $b \gt 0$

②　 $a^{2}+3b^{2} \leqq 1$

③　 $3b(a^{2}+3b^{2})+ \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \gt 0$

④　 $3b(a^{2}+3b^{2})- \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \gt 0$

⑤　 $3b+ \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace \gt 0$

⑥　 $3b- \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace \gt 0$

をすべて満たす $(a,b)$ を求めればよい。sageのregion_plot などのグラフ機能を用いて①～⑥を満たす領域を求めるとると図1の青色の領域が該当する。

f:id:fifthtaxi:20220414172905p:plain — 図1：x1, y1, x2, y2 がすべて正である広義タクシー2：m=x1^3+y1^3=x2^3+y2^　を生成する(a,b)の領域

　ちなみに、①の境界が水色、③の境界が緑、④の境界が赤、⑤の境界がマゼンタ、⑥の境界が黄色を示している。

3．自然数の3乗の和として2通りに表せる数にある自然数の3乗を掛ければ、n(>2)通りに表せる

　いよいよ、１．はじめに　に書いたことを命題7で説明する。厳密な証明ではなく感覚的な説明であることをご容赦下さい。

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（命題7）

タクシー2 の集合 $T_{2}$ の ~ による同値類はどんなn（n>2）についても、タクシーnにより代表される。　つまり、タクシー2に自然数の3乗掛ければ、自然数の立方の和としてn通りに表せる。

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（説明）

　 $m \in T_{2}$ とすると、相違なる自然数 $∃x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$

$m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$

である。また、有理数 a,b,t があって、

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}),A_{1}=2t(1−a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, \hspace{40pt} A_{2}=2t(a−(a^{2}+3b^{2})^{2})$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2,y_{1}=(p_{1}−A_{1})/2,x_{2}=(p_{1}+A_{1})/2,y_{2}=(p_{1}−A_{1})/2$

となる。

　このとき、命題1の系1のより $b≠0$ である。

　命題4,5により、平面3次曲線　

$x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}−1=0 \hspace{15pt} (6)$

ここで、 $k=k(a,b)= \lbrace 1−a(a^{2}+3b^{2)} \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$

の有理点 $(a′,b′)≠(a,b),(1,0)$ が存在すれば $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ とは異なる有理数 $x_{3}, y_{3}$ が存在して、

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}$

但し、 $x_{3}とy_{3}$ が正であるためには、 $(a',b')$ が図1の青色の領域にあることが必要十分である。こうした $(a',b')$ がn個存在すれば、ｍの定める同値類はタクシーnで代表されることになる。

　 $k=A_{1}/p_{1}=(x_{1}-y_{1})/(x_{1}+y_{1})$ であり、命題2よりmの8つの表現の仕方によって同値であることは変わらないので、 $x_{1} \gt y_{1} \gt 0$ としてよい。その時、 $0 \lt k \lt 1$ である。図2に $k=0$ と $k=1$ の場合の式（6）平面3次曲線のグラフを示す。

　オレンジが $k=1/4$ 、赤線が $k=1$ のときのグラフである。 $k=1$ のときは（6）の曲線は④の境界線と同一となる。

f:id:fifthtaxi:20220414173433p:plain — 図2：x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0 のグラフ　（k=1/4, 1)

　式（6）で表わされる平面3次曲線の(1,0)における微分係数は、(6)式をxで微分して

$3x^{2}+6kxy+3kx^{2} \frac{dy}{dx} +3y^{2}+6xy \frac{dy}{dx} +27ky^{2} \frac{dy}{dx} =0$

より

$\frac{dy}{dx} =-(x^{2}+2kxy+y^{2})/(kx^{2}+2xy+9ky^{2})$

であるので、

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = -1/k$ 　　

である。したがって、 $0 \lt k \lt 1$ のとき（6）式の平面3次曲線は青色領域と交わる。

　図2だと少しわかりにくいので(1,0)の付近を拡大した図3を以下に示す。

f:id:fifthtaxi:20220414173636p:plain — 図3：x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0 のグラフと青色領域の交わり

　（6）式の表す平面3次曲線は、無限遠点を付け加えると楕円曲線であり、その有理点群のランクは1以上である（メモ22の命題6の説明を参照）。この平面3次曲線の実数点の集合は連結であるので、リー群としてR/Zと同型。この部分群で位数が無限の部分群は稠密である（この議論は、https://math.stackexchange.com/questions/4336651/dense-rational-points-of-an-elliptic-curve/4338154#4338154　による）。したがって、（6）式の平面3次曲線は青色領域の中に無数の有理点を含む。（説明終）