メモ22　タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合

１．はじめに

　2つの自然数の3乗の和として2通りに表せる自然数をタクシー2と呼ぶことにする。そうすると最小のタクシー2がいわゆるラマヌジャンのタクシー数　

$\hspace{10pt}1729 =10^3+9^3=12^3+1^3$

である。

　タクシー2を求めるには、次に不定方程式を解けばよい。

$\hspace{10pt} x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} \hspace{10pt} x_{i},y_{i} \in \mathbb{N} \hspace{20pt} (1)$

　この不定方程式の有理数解は以下で与えられる（出典：ウィキペディア）。

$x_{1}=t\lbrace 1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})\rbrace, \hspace{5pt}y_{1}=t\lbrace(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1\rbrace$

　 $x_{2}=t\lbrace (a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}\rbrace, \hspace{5pt}y_{2}=t\lbrace(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)\rbrace \hspace{15pt} (2)$ 　　　　　　　

　これらの立方和を求めると

$\hspace{10pt}x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=18bt^{3}(a^{2}+3b^{2})(a^{6}+9a^{4}b^{2}+27a^{2}b^{4}+27b^{6}-2a^{3}-6ab^{2}+1)$

$\hspace{90pt}=18bt^{3}(a^{2}+3b^{2})\lbrace (a^{2}+3b^{2})^{3}-2a(a^{2}+3b^{2})+1\rbrace$

である。

２．タクシー2を与えるa,b,t

（命題1）タクシー2　 $x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ について

$x_{1}=t\lbrace 1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})\rbrace, \hspace{5pt}y_{1}=t\lbrace(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1\rbrace$

　 $x_{2}=t\lbrace (a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}\rbrace, \hspace{5pt}y_{2}=t\lbrace(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)\rbrace \hspace{15pt}$ 　　

とするとき

$t=-\frac{(x_{1}-y_{1})(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})(x_{2}+y_{2})^{2}}{(x_{1}-y_{1})(x_{1}+y_{1})^{3}+(x_{2}-y_{2})(x_{2}+y_{2})^{2}(x_{1}+y_{1})-2(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})(x_{2}+y_{2})^{2}}$

$a=\frac{(x_{1}-y_{1})(x_{1}+y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})(x_{2}+y_{2})^{2}}{2(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})(x_{2}+y_{2})}$

$b=\frac{(x_{2}+y_{2})}{6t}$

である。このとき　t,bはともに 0 ではない。

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（説明）

$x_{1}+y_{1}=6bt(a^{2}+3b^{2}) \\ x_{1}-y_{1}=-2t\lbrace a(a^{2}+3b^{2})-1 \rbrace \\ x_{2}+y_{2}=6bt \\ x_{2}-y_{2}=-2t \lbrace (a^{2}+3b^{2})^{2}-a \rbrace$

より

$a^{2}+3b^{2}=\frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}$

　　これを用いて上の2番目と4番目の式を書き直すと

$x_{1}-y_{1}=-2t \lbrace a \frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}} -1 \rbrace \\ x_{2}-y_{2}=-2t \lbrace ( \frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}})^{2} -a \rbrace$

　これを、t,aの連立方程式とみて解けばよい。　　

なお、 $t=0$ とすると、 $x_{1}=y_{1}=x_{2}=y_{2}=0$ となり矛盾。よって $t≠0$

また、b=0 とすると

$x_{1}=t(1-a^{3}), y_{1}=t(a^{3}-1)$ よって　 $x_{1}=-y_{1}$

$x_{2}=t(a-a^{4}), y_{2}=t(a^{4}-a)$ よって　 $x_{2}=-y_{2}$

よって、これらの3乗和は０となり、タクシー2の定義に矛盾

　　　　　　　　　　　　（説明終）

ちなみに

　 $1729=12^{3}+1^{3}=10^{3}+9^{3}$ にこの命題を適用すると、 $(a,b,t)=(10/19,7/19,361/42)$ が得られる。

　今、広義のタクシー数を有理数の3乗の和で2通りに表わされる0でない有理数とすると、（2）はその一般解を与える。

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（系1）広義のタクシー2について、命題1が成り立つ

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（説明）命題1の説明と同様　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（説明終）

　mを広義のタクシー2とすると、有理数 $x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$ が存在して

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$

であり、命題1より、 $x_{i},y_{i}$ を与える有理数 $a,b,t$ が求められる。

　 $x_{i}$ と $y_{i}$ の交換や $x_{1}$ と $x_{2}, y_{1}$ と $y_{2}$ の同時交換でも同じmを与えるので、mから定まる $a,b,t$ は8組存在する。

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ を $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})$ と表現すると、これらの8組を与える $x_{i}, y_{i}$ は次のように表現される。

①：　 $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})$ 　

②：　 $(y_{1}, x_{1}, y_{2}, x_{2})$

③：　 $(x_{1}, y_{1}, y_{2}, x_{2})$

④：　 $(y_{1}, x_{1}, x_{2}, y_{2})$

⑤：　 $(x_{2}, y_{2}, x_{1}, y_{1})$

⑥：　 $(y_{2}, x_{2}, y_{1}, x_{1})$

⑦：　 $(x_{2}, y_{2}, y_{1}, x_{1})$

⑧：　 $(y_{2}, x_{2}, x_{1}, y_{1})$

$(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})$ から $a,b,t$ を定める写像を $F$ とする。つまり、

　　　　①　 $F(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(a,b,t)$ 　である。

このとき、

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（命題2）① $F(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(a,b,t)$ とし、 $a^{2}+3b^{2}=X$ とおくとき

②　 $F(y_{1}, x_{1}, y_{2}, x_{2})=(a,-b,-t)$

③　 $F(x_{1}, y_{1}, y_{2}, x_{2})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), \\ -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1))$

④　 $F(y_{1},x_{1},x_{2},y_{2})=( (-aX^{3}+2X^{2}-a)/(X^{3}-2aX+1), \\ b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1))$

⑤　 $F(x_{2}, y_{2}, x_{1}, y_{1})=(a/X,-b/X,-tX^{2} )$

⑥　 $F(y_{2}, x_{2}, y_{1}, x_{1})=(a/X, b/X, tX^{2} )$

⑦　 $F(x_{2}, y_{2}, y_{1}, x_{1})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/X/(X^{3}-2aX+1), \\ b(1-X^{3})/X/(X^{3}-2aX+1), tX^{2}(X^{3}-2aX+1)/(1-X^{3}) )$

⑧　 $F(y_{2}, x_{2}, x_{1}, y_{1})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/X/(X^{3}-2aX+1), \\ -b(1-X^{3})/X/(X^{3}-2aX+1),-tX^{2}(X^{3}-2aX+1)/(1-X^{3}) )$

　また、 $k(a,b)=(1-a(a^{2}+3b^{2}) )/ \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$ とすると、8組の（a,b）について $\lbrace 1+3k(a,b)^{２} \rbrace/ \lbrace 1+3k(a’,b’)^{2} \rbrace \in (\mathbb{Q}^{*})^{3}$ が成り立つ。

　つまり、有理数の乗法群Q*において、同値関係k⇔ｋ’を $(1+3k^{2})/(1+3k’^{2}) \in (\mathbb{Q}^{*})^3$ で定めた時、8組の(a,b)についてk(a,b)は同じ同値類を定める。

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（説明）

$F(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})=(a,b,t)$ とする。

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t(1-a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, A_{2}=2t(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$

とおくとき、

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2$

$x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

である。

　 $p_{i}, A_{i}$ を $a,b,t$ の関数とみると、

$p_{1}(a,-b,-t)=p_{1}(a,b,t), p_{2}(a,-b,-t)=p_{2}(a,b,t)$

$A_{1}(a,-b,-t)=-A_{1}(a,b,t), A_{2}(a,-b,-t)=-A_{2}(a,b,t)$

であるので $F(y_{1},x_{1},y_{2},x_{2})=(a,-b,-t)$ であり、②がいえた。

③～⑧については、付記1を参照のこと。　　　　　（説明終）

　タクシー2の集合 $T_{2}$ 、広義タクシー2の集合 $WT_{2}$ は、以下のように表わされる。

$T_{2}=\lbrace m \in \mathbb {N}:　相異なる∃x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2} \in \mathbb {N}, x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} =m\rbrace$

$WT_{2}=\lbrace m \in \mathbb {Q}^*: 相異なる∃x_{1}, y_{1},x_{2},y_{2} \in \mathbb {Q}, x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=m \rbrace$

である。

命題2により、3通り以上では表わせないタクシー2の集合 $T_{2}$ (広義タクシー2の集合 $WT_{2}$ )から有理数の乗法群 $\mathbb {Q}^*$ の同値関係 k⇔ｋ’ を $(1+3k^{2})/(1+3k’^{2}) \in (\mathbb {Q}^*)^{3}$ で定義する場合の商集合への写像 $\tilde {F}$ が定義されることとなる。この商集合を $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ 　と表わすこととする。

　実は、この写像は3通り以上で表わせるタクシー2（広義タクシー2）についても定義されることを次節以降見ていくこととする。

3．タクシー2を定めるa,b,tとタクシー3の関係

　タクシー2の場合と同様に、タクシー3を2つの自然数の和として3通りに表せる自然数、広義のタクシー3を有理数の3乗の和で3通りに表わされる有理数≠0とする。同様にnを自然数としたとき、タクシーnや広義タクシーnが定義できる。タクシーn（広義タクシーn）の集合 $T_{n} (WT_{n})$ は

$T_{n}= \lbrace m \in \mathbb {N}: 相異なる∃x_{1}, y_{1},x_{2},y_{2}, \cdots ,x_{n}, y_{n} \in \mathbb {N}, x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} = \cdots = x_{n}^{3}+y_{n}^{3}=m \rbrace$

$WT_{n}= \lbrace m \in \mathbb {Q}^*: 相異なる∃x_{1}, y_{1},x_{2},y_{2}, \cdots , x_{n}, y_{n} \in \mathbb {Q}, x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} = \cdots = x_{n}^{3}+y_{n}^{3}=m \rbrace$

と表わされ、定義より

$T_{2} \supset T_{3} \supset ・\cdots \supset Tn$

$WT_{2} \supset WT_{3}\supset \cdots \supset WT_{n}$

である。　　　　　　　

　今ｍをタクシー3（広義タクシー3）とすると自然数（有理数）の異なる組 $(x_{1},y_{1}),　(x_{2},y_{2}), (x_{3},y_{3})$ が存在して

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}=ｍ$

となる。

　このうちの2つの組だけに注目すると、

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} \\ x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3} \\ x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}$

と3つのタクシー2（広義タクシー2）が得られる。これらについて、 $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ の同値類が対応するが、次の命題3に示すとおり、これらの3つのタクシー2は、すべて同じ同値類となる。結果として $\tilde {F}$ はタクシー2全体の集合 $T_{2} (WT_{2})$ からの写像となり、それをタクシー3（タクシーnでもよい）に制限した際にもwell defined である。

　また、 $m,m’ \in T_{n} (WT_{n})$ について、 $m \sim m'$ 　を　 $∃s \in \mathbb {Q}^*, m=s^{3} m’$ で定めると、これは同値関係であり、mとm'は同じ同値類を定めることは容易にわかるので、 $T_{n}/ \sim (WT_{n}/ \sim)$ から $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ への写像 $\tilde {\tilde {F}}$ が定まり、下の図式は可換である。

$\hspace {45pt} \tilde {F} \\T_{2} \supset T_{n} \hspace {10pt} \rightarrow \hspace {10pt} \mathbb {Q}^{*}/R_{k} \\ \hspace {25pt} \searrow \hspace {10pt} \circlearrowleft \hspace {10pt} \nearrow \tilde {\tilde {F}} \\ \hspace {45pt} T_{n}/ \sim$

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（命題3）

タクシー2　 $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ に対し、ｍの異なる表現　 $m=x^{3}+y^{3}$ がある場合、タクシー2の組 $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}), (x_{1}, y_{1}, x, y), (x_{2}, y_{2}, x, y)$ は $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ 　で同じ同値類を定める。　

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(説明）付記2を参照のこと。　　　　　　　　（説明終）

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命題4

タクシー3（広義タクシー3） $x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}=m$ において、

$F(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})=(a,b,t)$

$F(x_{1}, y_{1}, x_{3}, y_{3})=(a’,b’,t’)$ 　とするとき　、①~③が成り立つ

①　 $b(a^{2}+3b^{2})-b’(a’^{2}+3b’^{2})+(a^{2}+3b^{2}) (a’^{2}+3b’^{2})(ab’-a’b)=0 \hspace{10pt} (3)$

②　①においてa、bを定数とみたa',b'に関する平面3次曲線とa'、b'を定数とみたa,bに関する平面三次曲線は同じ曲線である。その方程式は、

$x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 \hspace{20pt} (4)$

　　　　　ここで、　 $k= \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \\ = \lbrace 1-a'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace / \lbrace 3b'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace$

③　 $k≠0, ±1$

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（説明）付記3を参照のこと。（説明終）

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　命題4とは逆に（4）が成り立てば、タクシ―3（広義タクシー3）が得られるであろうか。

（命題5）

　有理数a,b（b≠0）について、平面3次曲線

$x^{3}+3k(a,b)x^{2}y+3xy^{2}+9k(a,b)y^{3}-1=0　　(5)$

　の有理点( a',b')≠(a,b) について、

$t,t’：0$ でない有理数

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t(1-a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, A_{2}=2t(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

$p_{1}’=6t’b’(a’^{2}+3b’^{2}), A_{1}’=2t’(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))$

$p_{2}’=6t’b’, A_{2}’=2t’(a’-(a’^{2}+3b’^{2})^{2})$

$x_{1}'=(p_{1}’+A_{1}’)/2, y_{1}’=(p_{1}’-A_{1}’)/2, x_{2}’=(p_{2}’+A_{2}’)/2, y_{2}’=(p_{2}’-A_{2}’)/2$

とするとき、3通りの相異なる2つの有理数の3乗の和

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}= \lbrace (p_{1}/p_{1}')x_{2}’ \rbrace ^{3}+ \lbrace (p_{1}/p_{1}’)y_{2}’ \rbrace ^{3}$

となる。つまり、(5)の平面３次曲線の有理点は $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ の同値類を定める。

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（説明）付記4を参照のこと　　　　　　　（説明終）

4.　広義タクシー2 と広義タクシーn は同じもの

　次に、広義タクシーn（n=2,3・・・・）の集合 $WT_{n}$ はすべて等しいことを示す。

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（命題6）

広義タクシー2 の集合 $WT_{2}$ は広義タクシーn（n=2,3・・・）の集合 $WT_{n}$ に等しい。

よって、広義タクシー2 の集合 $WT_{2}$ の ~ による同値類は広義タクシーn（n=2,3・・・）により代表される。

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(説明）

　 $WT_{2} \subset WT_{n} (n=2,3 )$ をいえばよい。

　 $m \in WT_{2}$ 　とすると、相違なる $∃x_{1}, y_{1}, x_{2},y_{2}, 　m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$

である。また、有理数 $a,b,t$ があって、

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t(1-a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, A_{2}=2t(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{2}=(p_{1}-A_{1})/2$ となる。

　このとき、命題1の系1のより $b≠0$ である。

　命題4,5により、平面3次曲線　

$x^{3}+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0 \hspace{15pt} (6)$

ここで、 $k=k(a,b)= \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$

の有理点 $(a',b')≠(a,b) , (1,0)$ が存在すれば $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ とは異なる $x_{3}, y_{3}$ が存在して、

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}$

となる。つまり、 $m \in WT_{3}$ よって $WT_{2}=WT_{3}$

　（6）の平面3次曲線は非特異である。なぜなら、

$F=x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1$ とすると

$\frac{ \partial F }{ \partial x} =3x^{2}+6kxy+6xy$

$\frac{ \partial F }{ \partial y} =3kx^{2}+6xy+27y^2$

$F= \frac{ \partial F }{ \partial x} =\frac{ \partial F }{ \partial y}=0$ を満たす解はないことから分かる。

　したがって、この平面3次曲線は楕円曲線となる。これを $E$ とする。

（6）の曲線の有理点（1，0）で接線を引くことにより、有理点 $x_{0},y_{0})$

$x_{0}=-1/2(k^{2}-9)/(k^{2}+3), y_{0}=3/2(k^{2}-1)/ \lbrace k(k^{2}+3) \rbrace$

を得る。

$a_{0}=(x_{0},y_{0})$ とする。

　メモ20，21より、この平面3次曲線には(1,0)を原点とする加法が導入される。この加法について $a_{0}$ は位数∞であることをいえば、異なる有理点が無数に存在することとなり、 $WT_{2}=WT_{n}$ がいえる。

　今、 $a_{0}$ から接線を引くと、 $E$ と交わるもう一つの点がある。この点から原点 $\mathcal {O}$ を結ぶ直線が $E$ と交わる点を $a_{1}$ とすれば、その求め方から　 $a_{1}=2a_{0}$ である。 $a_{1}$ から同じ操作で $a_{2}$ を作成する。同様に $a_{n} (n=3 \cdots )$ を作成する。そうすると $a_{n}=2^{n}a_{0}$ である。 $a_{0}$ の位数が有限とすると、自然数 i>j が存在して、 $a_{i}=a_{j}$ となる。このような $(i, j)$ の組で最も小さな $j$ をとり、 $i$ をその $j$ について、 $a_{i}=a_{j}$ となる最も小さな $i$ とする。

$2^{i}a_{0}=2^{j}a_{0}$ したがって、 $2(2^{(i-1)}-2^{(j-1)})a_{0}=0$

2倍して0となる点は、 $a_{0}$ からE上の点に接線を引いた場合、その接点となる点である。 $a_{0}$ の作成のしかたから原点はそのような点であり、そのような点は1点に限るので、 $(2^{(i-1)}-2^{(j-1)})a_{0}=0$ よって $2^{(i-1)}a_{0}=2^{(j-1)}a_{0}$

これは $j,i$ の選び方に矛盾。よって $a_{0}$ の位数は無限大である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（説明終）

　実は、広義ではないタクシーnについて、命題6の後半が成り立つと考えている。

つまり3乗の違いを除けば、タクシー2は、２つの自然数の3乗和としてn通りに書けることになる。例えば、有名なタクシー数 $1729$ は、

$12 ^{3}+ 1 ^{3}= 10^{3}+9^{3}=1729 \\ \hspace{15pt} =(2879081/240681 )^{3}+ (622072/240681)^{3} \\ \hspace{15pt} =(415433367265456054961/35102813300428956092)^{3} \\ \hspace{15pt} + (145630396879121602191/35102813300428956092)^3$

などとなる。

　これについては、予想に誤りがなければ、次回以降のメモに記したい。

付記

付記1

（命題2：再掲）① $F(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(a,b,t)$ とし、 $a^{2}+3b^{2}=X$ とおくとき

②　 $F(y_{1}, x_{1}, y_{2}, x_{2})=(a,-b,-t)$

③　 $F(x_{1}, y_{1}, y_{2}, x_{2})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), \\ -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1))$

④　 $F(y_{1},x_{1},x_{2},y_{2})=( (-aX^{3}+2X^{2}-a)/(X^{3}-2aX+1), \\ b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1))$

⑤　 $F(x_{2}, y_{2}, x_{1}, y_{1})=(a/X,-b/X,-tX^{2} )$

⑥　 $F(y_{2}, x_{2}, y_{1}, x_{1})=(a/X, b/X, tX^{2} )$

⑦　 $F(x_{2}, y_{2}, y_{1}, x_{1})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/X/(X^{3}-2aX+1), \\ b(1-X^{3})/X/(X^{3}-2aX+1), tX^{2}(X^{3}-2aX+1)/(1-X^{3}) )$

⑧　 $F(y_{2}, x_{2}, x_{1}, y_{1})=(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/X/(X^{3}-2aX+1), \\ -b(1-X^{3})/X/(X^{3}-2aX+1),-tX^{2}(X^{3}-2aX+1)/(1-X^{3}) )$

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（説明）

②については、本文中に記した。

③：

$A=-(aX^{3}-2X^2+a)/(X^{3}-2aX+1), B=-b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1)$

とおくと

$A^{2}+3B^{2}= \lbrace (aX^{3}-2X^{2}+a)^{2}+b^2(X^{3}-1)^{2} \rbrace /(X^{3}-2aX+1)^{2} )=(a^{2}+3b^{2})$

に注意すれば

$p_{1}(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), \\ -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1)) \\ =6 \lbrace -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1) \rbrace (a^{2}+3b^{2}) \\ =6tb(a^2+3b^2)=p_{1}(a,b,t)$

$A_{1}(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), \\ -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1)) \\ =2 \lbrace -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1) \rbrace (1+(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1)(A^{2}+3B^{2})) \\ =2 \lbrace -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1) \rbrace (X^{3}-2aX+1+(aX^{3}-2X^{2}+a)(a^{2}+3b^{2})) \\ /(X^{3}-2aX+1) \\ =2 \lbrace -t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace (1+a(a^{2}+3b^{2}))X^{3}-2(a^{2}+3b^{2})X^{2} \\ -2aX+a(a^{2}+3b^{2})+1 \rbrace \\ =2 \lbrace -t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace (1+aX)X^{3}-2X^{3}-2aX+aX+1 \rbrace \\ = 2 \lbrace -t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace (1+aX)X^{3}-2X^{3}-aX+1 \rbrace \\ =2 \lbrace -t/(X^{3}-1) \rbrace (aX-1)(X^{3}-1)=-2t(aX-1)=A_{1}(a,b,t)$

$p_{2}(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), \\ -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1)) \\ =6 \lbrace -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1) \rbrace =6bt=p_{2}(a,b,t)$

$A_{2}(-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), -b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1), \\ -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1)) \\ =2 \lbrace -t(X^{3}-2aX+1)/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace -(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1)-(A^{2}+3B^{2})^{2} \rbrace \\ =2 \lbrace -t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace -(aX^{3}-2X^{2}+a)-(X^{3}-2aX+1)X^{2} \rbrace \\ =-2 \lbrace t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace X^{5}-aX^{3}-2X^{2}+X^{2}+a \rbrace \\ =-2 \lbrace t/(X^{3}-1) \rbrace \lbrace X^{5}-X^{2}-a(X^{3}-1) \rbrace =2t(X^{2}-a)=-A_{2}(a,b,t)$

　これで③が言えた。

　次に④を示す。

$F(y_{1},x_{1},x_{2},y_{2})=(a_{3},b_{3},t_{3})$ 　とすると　①②より

$F(x_{1},y_{1},y_{2},x_{2})=(a_{3},-b_{3},-t_{3})$ よって③より④が言えた。

　⑤を示す。

$p_{1}(a/X,-b/X,-tX^{2})=6(-b/X)(-tX^{2}((a/X)^{2}+3(-b/X)^{2}) \\ =6btX(a^{2}+3b^{2})/X^{2}=6tb=p_{2}(a,b,t)$

$A_{1}(a/X,-b/X,-tX^{2})=2(-tX^{2})(1-a/X((a/X)^{2}+3(-b/X)^{2}) \\ =-2tX^{2}(1-a/X^{2})=2t(a-X^{2})=A_{2}(a,b,t)$

$p_{2}(a/X,-b/X,-tX^{2})=6(-b/X)(-tX^{2})=6btX=p_{1}(a,b,t)$

$A_{2}(a/X,-b/X,-tX^{2})=2(-tX^{2})(a/X-((a/X)^{2}+3(b/X)^{2})^{2}) \\ =-2tX^{2}(a/X-1/X^{2})=-2t(aX-1)=A_{1}(a,b,t)$

　⑥を示す。

　⑤より $F(x_{2},y_{2},x_{1},y_{1})=(a/X,-b/X,-tX^{2})$ であるので

①②より $F(y_{2},x_{2},y_{1},x_{1})=(a/X,b/X,tX^{2})$

　⑦を示す。

　 $F(x_{2},y_{2},x_{1},y_{1})=(a/X,-b/X,-tX^{2})$ を $(a’,b’,t’)$ とおく。　

$X’ =a’^{2}+3b’^{2} =1/X$ 　である。

①③より

$F(x_{2},y_{2},y_{1},x_{1})= (-(a'X’^{3}-2X’^{2}+a’)/(X'^{3}-2a’X’+1), -b’(X’^{3}-1)/(X’^{3}-2a’X’+1), \\ -t’(X’^{3}-2a’X’+1)/(X’^{3}-1))-((a/X)/X^{3}-2/X^{2}+a/X)/(1/X^{3}-2(a/X)/X+1) \\ =-(a-2X^{2}+aX^{3})/X/(1-2aX+X^{3})-b’(X’^{3}-1)/(X’^{3}-2a’X’+1) \\ =b/X(1/X^{3}-1)/(1/X^{3}-2a/X/X+1) \\ =b(1-X^{3})/X/(1-2aX+X^{3})-t’(X’^{3}-2a’X’+1)/(X’^{3}-1) \\ =tX^{2}(1/X^{3}-2a/X/X+1)/(1/X^{3}-1) \\ =tX^{2}(1-2aX+X^{3})/(1-X^{3})$

⑧　は⑦　に①と②の関係を適用すればよい。

　次に命題のまた以下を示す。

　②について　k(a,-b)=-k(a,b) より命題は成り立つ。

　③から⑧までについて　Fの像を $(a_{i},b_{i},t_{i})$ ここで $3 \leqq i \leqq 8$ とすると

　 $a_{3}=-(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1), b_{3}=-b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1)$ であり、上に示した通り、 $a_{3}^2+3b_{3}^2=a^{2}+3b^{2}$ よって、

　 $k(a_{3},b_{3})= \lbrace 1+(aX^{3}-2X^{2}+a)/(X^{3}-2aX+1)(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \\ / \lbrace 3(-b(X^{3}-1)/(X^{3}-2aX+1))a^{2}+3b^{2}) \rbrace \\ = \lbrace (X^{3}-2aX+1)+(aX^{3}-2X^{2}+a)(a^{2}+3b^{2}) \rbrace / \lbrace -3b(X^{3}-1)(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \\ = \lbrace (X^{3}-2aX+1)+aX^{4}-2X^{3}+aX \rbrace / \lbrace -3b(X^{3}-1)X \rbrace \\ =(X^{3}-1)(aX-1)/(-3b)/(X^{3}-1)/X \\ =-1/3b(aX-1)/X \\ =k(a,b)$

　よって③について命題は成り立つ

　 $k(a_{4},b_{4})=-k(a_{3},-b_{3}) =-k(a,b)$ 　より④についてもOK

$k(a_{5},b_{5})= \lbrace 1-a/X( (a/X)^{2}+3(-b/X)^{2}) \rbrace / \lbrace -3b/X( (a/X)^{2}+3(b/X)^{2}) \rbrace \\ = \lbrace 1-a/X^{2} \rbrace / \lbrace -3b/X^{2} \rbrace = (a-X^{2})/(3b)$

$1+3k(a_{5},b_{5})^{2}=1+3(a-X^{2})^2/(9b^{2})=(9b^{2}+3a^{2}-6aX^{2}+3X^{4})/(9b^{2}) \\ =3X(X^{3}-2aX+1)/(9b^{2})$

$\hspace{10pt} 1+3k(a,b)^{2}=1+3(1-ax)^{2}/(9b^{2}X^{2})=(9b^{2}X^{2}+3-6aX+3a^{2}X^{2})/(9b^{2}X^{2}) \\ \hspace{10pt} =3(X^{3}-2aX+1)/(9b^{2}X^{2})$

よって

$\lbrace 1+3k(a_{5},b_{5})^{2} \rbrace / \lbrace 1+3k(a,b)^{2} \rbrace =X^{3}$

よって⑤についてもOK

$k(a_{6},b_{6})=-k(a_{5},b_{5})$ より ⑥についてもOK

$k(a_{7},b_{7})=k(a_{5},b_{5})$ (③についてと同様の議論による）　

これより⑦もＯＫ

$k(a_{8},b_{8})=-k(a_{7},b_{7})=-k(a_{5},b_{5})$

これより⑧についてもOK　　　　　　　　　　　（説明終）

付記2

（命題3：再掲）

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(説明）

　タクシー2の組 $(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})$ について $F(x_{1},y_{1},x_{2}, y_{2})=(a,b,t)$ とすると

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t(1-a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, A_{2}=2t(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$

とするとき

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

　また、タクシー2の組 $(x_{1}, y_{1}, x, y)$ について $F(x_{1}, y_{1}, x, y)=(a’,b’,t’)$ 　とすると

$p_{1}’=6t’b’(a’^{2}+3b’^{2}), A_{1}’=2t’(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))$

$p_{2}’=6t’b’, A_{2}’=2t’(a’-(a’^{2}+3b’^{2})^{2})$

とするとき

$x_{1}=(p_{1}’+A_{1}’)/2, y_{1}=(p_{1}’-A_{1}’)/2, x=(p_{2}’+A_{2}’)/2, y=(p_{2}’-A_{2}’)/2$

よって、

$p_{1}+A_{1}=p_{1}’+A_{1}’$ 及び $p_{1}-A_{1}=p_{1}’-A_{1}’$ より

$p_{1}=p_{1}’$ かつ $A_{1}=A_{1}’$

$k(a,b)=(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace =A1/P1$

$k(a’,b’)=(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))/ \lbrace 3b’(a’^{2}+3b’^{2}) \rbrace =A1’/P1’$

よって、 $k(a,b)=k(a’,b’)$

　命題2の④より

$F(x_{2}, y_{2}, x_{1}, y_{1})=(a/X,-b/X,-tX^{2})$ ただし、 $X=a^{2}+3b^{2}$

$F(x_{2}, y_{2}, x, y)=(a’’,b’’,t’’)$ とするとき　

上と同様の議論で、 $k(a/X,-b/X)=k(a’’,b’’)$

$k(a/X,-b/X)=(1-a/X( (a/X)^{2}+3(b/X)^{2}) ) \\ / \lbrace -3b/X( (a/X)^{2}+3(-b/X)^{2}) \rbrace \\ = \lbrace (X^{2}-a)/X^{2} \rbrace /(-3b) \cdot X^{2}=(X^{2}-a)/(-3b)$

$\lbrace 1+3k(a/X,-b/X)^{2} \rbrace =\lbrace 1+3(X^{2}-a)^{2}/(9b^{2}) \rbrace \\ = \lbrace 9b^{2}+3X^{4}-6aX^{2}+3a^{2} \rbrace / (9b^{2} \\ =3X(X^{3}-2aX+1)/(9b^{2})$

$\lbrace 1+3k(a,b)^{2} \rbrace =\lbrack 1+3 \lbrace (1-a(a^{2}+3b^{2}) )/(3b(a^{2}+3b^{2}) ) \rbrace^{2} \rbrack \\ = \lbrace 1+3(1-ax)^{2}/(9b^{2} \cdot X^{2} \rbrace \\ = \lbrace 9b^{2}X^{2}+3(1-aX)^{2} \rbrace /(9b^{2} \cdot X^{2}) \\= \lbrace 9b^{2}X^{2}+3(1-2aX+a^{2}X^{2}) \rbrace /(9b^{2}X^{2}) \\ =3 \lbrace 1-2aX+X^{3} \rbrace /(9b^{2}X^{2})$

より $k(a/X,-b/X)$ と $k(a,b)$ は同値である。

よって、 $k(a'',b'')$ と $k(a,b)$ は同値である。　　　　　　　　(説明終）

付記3

（命題4：再掲）

タクシー3（広義タクシー3） $x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}=m$ において、

$F(x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2})=(a,b,t)$

$F(x_{1}, y_{1}, x_{3}, y_{3})=(a’,b’,t’)$ 　とするとき　、①~③が成り立つ

①　 $b(a^{2}+3b^{2})-b’(a’^{2}+3b’^{2})+(a^{2}+3b^{2}) (a’^{2}+3b’^{2})(ab’-a’b)=0 \hspace{10pt} (3)$

②　①においてa、bを定数とみたa',b'に関する平面3次曲線とa'、b'を定数とみたa,bに関する平面三次曲線は同じ曲線である。その方程式は、

$x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 \hspace{20pt} (4)$

　　　　　ここで、　 $k= \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \\ = \lbrace 1-a'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace / \lbrace 3b'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace$

③　 $k≠0, ±1$

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（説明）

命題3の説明にあるように

$k(a,b)=(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace =A1/P1$

$k(a’,b’)=(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))/{3b’(a’^{2}+3b’^{2})}=A1’/P1’$

について $k(a,b)=k(a’,b’)$ である。

$\lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace = \lbrace 1-a'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace / \lbrace 3b'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace$

を変形して、

$\lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \cdot \lbrace 3b'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace - \lbrace 1-a'(a'^{2}+3b'^{2}) \rbrace \cdot \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace = 0$

$3b'(a'^{2}+3b'^{2})-3ab’(a^{2}+3b^{2})(a'^{2}+3b'^{2})-3b(a^{2}+3b^{2})+3a’b(a'^{2}+3b'^{2})(a'^{2}+3b'^{2})=0$

よって、

$b'(a'^{2}+3b'^{2})-b(a^{2}+3b^{2})+(a’b-ab’)(a^{2}+3b^{2})(a'^{2}+3b'^{2})=0$

これで①が言えた。

②　a,bを定数とみた場合の方程式は、a',b'をそれぞれX,Yと置き換えると

$Y(X^{2}+3Y^{2})-b(a^{2}+3b^{2})+(Xb-aY)(a^{2}+3b^{2})(X^{2}+3Y^{2})=0$

$b(a^{2}+3b^{2})X^{3}+(Y-aY(a^{2}+3b^{2}))X^{2}+3b(a^{2}+3b^{2})Y^{2}X \\ +(3-3a(a^{2}+3b^{2}))Y^{3}-b(a^{2}+3b^{2})=0$

両辺を $b(a^{2}+3b^{2})$ で割ると

$X^{3}+(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace X^{2}Y \\ +3XY^{2}+3(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace Y^{3}-1=0$

$X^{3}+3kX^{2}Y +3XY^{2}+9kY^{3}-1=0$

a’,b’を定数とみた場合、a,bをX,Yとおけば、同じ方程式が得られる。

③　k=1とすると $A_{1}=P_{1}, A_{1}’=p_{1}’$ よって、 $x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2=P_{1}, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2=0$

そうすると $x_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ となり矛盾。よって $k≠1$ 　同様に $k≠-1$

　k=0とすると $A_{1}=0$ 　よって $x_{1}=y_{1}$ から $2x_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$

これは $X^{3}+Y^{3}=2$ という平面3次曲線に有理数解があることになる。

この曲線は、

$X=(72+W)/(6Z)$ 　

$Y=(72-W)/(6Z)$

という変換で $W^{2}=Z^{3}-1728$ という楕円曲線の変換される。逆変換は

$Z=24/(X+Y)$

$W=72(X-Y)/(X+Y)$

である。この楕円曲線の有理点をsageで求めると (12,0) のみであり、平面3次曲線に戻すと(1,1)となる。したがって、[tex:x_{1}=x_{2}=y_{2}=1　となり　mがタクシー3(広義タクシー3）であることに矛盾する。　　　　　　（説明終）

付記4

（命題5：再掲）

　有理数a,b（b≠0）について、平面3次曲線

$x^{3}+3k(a,b)x^{2}y+3xy^{2}+9k(a,b)y^{3}-1=0　　(5)$

　の有理点( a',b')≠(a,b) について、

$t,t’：0$ でない有理数

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t(1-a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, A_{2}=2t(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

$p_{1}’=6t’b’(a’^{2}+3b’^{2}), A_{1}’=2t’(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))$

$p_{2}’=6t’b’, A_{2}’=2t’(a’-(a’^{2}+3b’^{2})^{2})$

$x_{1}'=(p_{1}’+A_{1}’)/2, y_{1}’=(p_{1}’-A_{1}’)/2, x_{2}’=(p_{2}’+A_{2}’)/2, y_{2}’=(p_{2}’-A_{2}’)/2$

とするとき、3通りの相異なる2つの有理数の3乗の和

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}= \lbrace (p_{1}/p_{1}')x_{2}’ \rbrace ^{3}+ \lbrace (p_{1}/p_{1}’)y_{2}’ \rbrace ^{3}$

となる。つまり、(5)の平面３次曲線の有理点は $\mathbb {Q}^*/R_{k}$ の同値類を定める。

-----------------------------------------------------------------------

(解説）

(５)式を a,b,a’,b’ で書き直すと

$a'^{3}+3(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace a’^{2}b’+3a’b’^{2} \\ +9(1-a(a^{2}+3b^{2}))/ \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace b’^{3}-1=0$ 　

両辺に $3b(a^{2}+3b^{2})$ をかけて

$a' \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace +3(1-a(a^{2}+3b^{2}))a’^{2}b’+3 \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace a’b’^{2} \\ +9(1-a(a^{2}+3b^{2}))b’^{3}- \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace =0$

$a’^{3}+3A_{1}/p_{1}a’^{2}b’+3a’b’^{2}+9A_{1}/p_{1}b’^{3}-1=0$

$3A_{1}/p_{1}b’(a’^{2}+3b’^{2})+a’(a’^{2}+3b’^{2})=1$

$A_{1}/p_{1}=(1-a’(a’^{2}+3b’^{2}))/ \lbrace b’(a’^{2}+3b’^{2}) \rbrace = A_{1}’/p_{1}’$

これを $l$ とおくと $A_{1}=l \cdot p_{1} A_{1}’=l \cdot p_{1}’$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2=p_{1}(1+l)/2 y_{1}=p_{1}(1-l)/2$

$x_{1}’=(p_{1}’+A_{1}’)/2=p_{1}’(1+l)/2 y_{1}’=p_{1}’(1-l)/2$

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=(p_{1}/p_{1}’ \cdot x_{1}’)^{3}+(p_{1}/p_{1}’ \cdot y_{1}’)^{3}$ に注意すれば

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=(p_{1}/p_{1}’ \cdot x_{2}’)^{3}+(p_{1}/p_{1}’ \cdot y_{2}’)^{3}$

である。

$(p_{1}/p_{1}’ \cdot x_{1}’, p_{1}/p_{1}’ \cdot y_{1}', p_{1}/p_{1}’ \cdot x_{2}’, p_{1}/p_{1}’ \cdot y_{2}’)$ は広義タクシー2であり、命題1によりこれらは3つのパラメーターにより一意的に定まる。 $(a',b’,p_{1}/p_{1}' \cdot t’)$ がこれらを定めるが、

$(p_{1}/p_{1}’ \cdot x_{2}’, p_{1}/p_{1}’ \cdot y_{2}’)$ が $(x_{2},y_{2})$ に等しいとすると、 $(a',b’,p_{1}/p_{1}' \cdot t')=(a,b,t)$ となり、 $(a,b)≠(a’,b’)$ であることに矛盾。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（説明終）