メモ21 特異点を持たない平面3次曲線の加法について（その２）

本メモ21は、メモ20の続きであるので、メモ20からご覧いただけば幸いです。

4．非特異平面3次曲線とそのWeierstrass標準形の間の双有理変換が準同型であることの確認

　ここでは、メモ19,20で記した双有理変換　φ　が準同型であることを２つの例でみてみる。

　対象とする3次曲線とWeiestrass標準形は、以下の２つの曲線 E と W であった。

$E: x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0$ 　　　　（k:有理数≠0,±1）　(1)

$W:t^{2}+a_{1}st+a_{3}t=s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{4}s+a_{6}$

　ここで、

$\hspace{10pt} a_{1}=-8/3k(3+k^{2})/(k^{2}-1), a_{2}=2/9(k^{6}-75k^{4}-45k^{2}-9)/(k^{2}-1)^{2} \\ \hspace{10pt} a_{3}=0, a_{4}=4/3(k^{2}-1)^2, a_{6}=8/27(k^{6}-75k^{4}-45k^{2}-9)$

　(x,y)=(1,0) は明らかにEの有理点である。

　メモ20より、Wの単位元(0:1:0)は、双有理変換 φ により(1,0)に写されるので、(1,0)をEの単位元 $\mathcal{O}$ とする。ここでc, d, d', f を以下のとおり定める。

c=(c1,c2) ： $\mathcal{O}$ で接線を引いて交わるもう一つのEの点　

d=(d1,d2) ：cで接線を引いて交わるもう一つのEの点　

d'=(d1’,d2’): d、 $\mathcal{O}$ 、と一直線になるEの点　　　　

f=(f1,f2) : d で接線を引いて交わるもう一つのEの点　

　これらの点の具体的な座標は、本ブログ下部にある付記1を参照。

メモ20の「2.　特異点のない平面3次曲線の加法について」によると、

　c: Figure 1.8 のSに相当する。

　d: Figure 1.6 より c*c に相当する

　d’:Figure 1.6 より 2c に相当する。

　f: d*d に相当する

である。また、以下のことがわかる。

①　d=-c

　ｃとdを直線がcで接することから c*d=c　であり、c と oを結ぶ直線は oで接することから　d=-c である。

②　f=d’+c

　f=d*d であるので　fとoを結ぶ直線がEと交わるもう一つの点f'は2d=-2c　である。

d’*c とo を結ぶ点がEと交わるもう一つの点はc+d'=3cである。一方で、cとd'を結ぶ直線がd'*cで交わるので、d’*c=-d’=-2cである。したがって、f’に等しい。よってf=d’+cである。

③　d’*c=-d’　c*(-d’)=d’

　c がFigure 1.8 の S に相当することと * の定義よりわかる。

　φ、したがってφ-1が準同型（実際は同型）となっていることを、以下の2つのケースについてW上の点で見てみよう。計算にはsagemathを用いる。

③　φ-1(d')=２φ-1(c）

④　φ-1（c+d')=φ-1(c)+φ-1(d'）

　付記2により、

$\varphi^{-1}(c)=(−2/9(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^3+9k^2+3k+3)/(k^2−1)^2 \\,−16/27k(k^{2}+3)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)/(k^{2}−1)^{3})$

である。

φ-1（c）で接線を引くと、もう一つのWとの交点 (s0,t0) をsagemathにより求めると、

$s_{0}=-1/9(5k^{24} - 2958k^{22} - 29952k^{20} + 258966k^{18} - 2010987k^{16} - 4612140k^{14} - \\ 4864536k^{12} - 3591540k^{10} - 1476225k^{8} - 358182k^{6} - 75816k^{4} - 13122k^{2} - 729) \\ /(k^{2} (k ^{2}- 1)^{2} (k^{2} + 3)^{2} (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3)^{2} (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)^{2})$

$t_{0}=-1/27(k^{12} - 30k^{11} + 216k^{10} + 750k^{9} + 369k^{8} + 180k^{7} + 1656k^{6} - 900k^{5} + 1395k^{4} \\ - 54k^{3} + 432k^{2} + 54k + 27) (k^{12} + 30k^{11} + 216k^{10} - 750k^{9} + 369k^{8} - 180k^{7} + 1656k^{6} \\ + 900k^{5} + 1395k^{4} + 54k^{3} + 432k^{2} - 54k + 27) (19k^{12} + 342k^{10} + 2565k^{8} + 1044k^{6} \\ + 45k^{4} + 54k^{2} + 27) /(k^{3} (k ^{2}- 1)^{3} (k^{2} + 3)^{3} (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3)^{3} (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)^{3})$

さらに、s=s0　と　Wとの(s0,t0)以外の交点(s0,t1)を同じくsagemathで求めると

$t_{1}=-1/9(k^{4} - 6k^{3} + 12k^{2} + 6k + 3) (k^{4} + 6k^{3} + 12k^{2} - 6k + 3) (7k^{4} + 6k^{2} + 3) \\ (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3) (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + \\ 9) (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9))/(k^{3} (k ^{2}- 1)^{3} \\ (k^{2} + 3)^{3} (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3)^{3} (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)^{3})$

であり、(s0,t1)　はその求め方より2φ-1(c)である。この値は、付記2のφ-1(d')に等しい。これで③が言えた。

　次に、φ-1(c)　と　φ-1(d'）の和を求める。この2点以外にW と交わる点（s2,t2)をsagemathで求め、さらに、s=s2とWが交わる(s2,t2)以外の点(s2,t3)が求める和である。実際に計算すると、

$s_{2}=-2/81(k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)(25k^{48} - 90816k^{46} - 3452868k^{44} + \\ 1225882224k^{42} + 13336042554k^{40} + 100110943008k^{38} + 423122789340k^{36} - \\ 1301456814480k^{34} + 394707828879k^{32} + 17626500999936k^{30} + 42785962709688k^{28} + \\ 57497130344160k^{26} + 57397615344396k^{24} + 50402410315200k^{22} + 34245995211864k^{20} + \\ 15251018046048k^{18} + 4520873577159k^{16} + 1335195202752k^{14} + 548735664780k^{12} + \\ 187825893552k^{10} + 39314942298k^{8} + 4914766368k^{6} + 414523980k^{4} + 25509168k^{2} + 531441) \\ / ( (k^{2}-1)^{2}(k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3)^{2} (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} - 54k^{4} \\ - 144k^{3} - 27k + 9)^{2} (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9)^{2} )$

$t_{2}=-16/729k(k^{2}+3)(k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)(k^{24} - 84k^{23} + 1548k^{22} \\ + 16140k^{21} + 7434k^{20} - 15372k^{19} + 692748k^{18} - 827532k^{17} + 2614311k^{16} + \\ 1490616k^{15} + 5674968k^{14} + 1903608k^{13} + 4057452k^{12} - 22680k^{11} + 1746360k^{10} - \\ 1401624k^{9} + 1175391k^{8} - 951588k^{7} + 619164k^{6} - 197316k^{5} + 166698k^{4} + 2916k^{3} + \\ 20412k^{2} + 2916k + 729) (k^{24} + 84k^{23} + 1548k^{22} - 16140k^{21} + 7434k^{20} + 15372k^{19} + \\ 692748k^{18} + 827532k^{17} + 2614311k^{16} - 1490616k^{15} + 5674968k^{14} - 1903608k^{13} + \\ 4057452k^{12} + 22680k^{11} + 1746360k^{10} + 1401624k^{9} + 1175391k^{8} + 951588k^{7} + \\ 619164k^{6} + 197316k^{5} + 166698k^{4} - 2916k^{3} + 20412k^{2} - 2916k + 729) (37k^{24} + 5328k^{22} \\ + 244422k^{20} - 348984k^{18} - 1168497k^{16} + 2045952k^{14} + 7219044k^{12} + 5934384k^{10} \\ + 2294163k^{8} + 486000k^{6} + 58806k^{4} + 5832k^{2} + 729)/( (k^{2}-1)^{3}(k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} \\ + 3)^{3} (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9)^{3} (k^{9} + 27k^{8} \\- 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9)^{3})$

$t_{3}=-32/729k(k^{2}+3)(k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} \\ + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) (k^{12} - 72k^{11} + 174k^{10} - 672k^{9} - 1053k^{8} - 2160k^{7} \\ - 684k^{6} - 2592k^{5} - 297k^{4} - 648k^{3} - 162k^{2} - 27) (k^{12} - 30k^{11} + 216k^{10} + 750k^{9} \\ + 369k^{8} + 180k^{7} + 1656k^{6} - 900k^{5} + 1395k^{4} - 54k^{3} + 432k^{2} + 54k + 27) (k^{12} \\ + 30k^{11} + 216k^{10} - 750k^{9} + 369k^{8} - 180k^{7} + 1656k^{6} + 900k^{5} + 1395k^{4} + 54k^{3} \\ + 432k^{2} - 54k + 27) (k^{12} + 72k^{11} + 174k^{10} + 672k^{9} - 1053k^{8} + 2160k^{7} - 684k^{6} \\ + 2592k^{5} - 297k^{4} + 648k^{3} - 162k^{2} - 27) (19k^{12} + 342k^{10} + 2565k^{8} + 1044k^{6} + 45k^{4} \\ + 54k^{2} + 27)/( (k^{2}-1)^{3}(k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3)^{3} (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} \\ - 270k^{5} - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9)^{3} (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} \\ - 144k^{3} - 27k - 9)^{3})$

を得る。(s2,t3)の値は、付記2の φ-1(f) に等しい。②よりc+d'=f　であり、④が言えた。

付記1　ある非特異平面3次曲線と直線の交点のうち2点が与えられたとき、もう1つの交点を求める

　以下の非特異平面3次曲線を考える。

$E: x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0$ 　（k:有理数≠0,±1) (1)

　与えられた2つの交点を(x0,y0),(x1,y1)　とする。

このとき、

Case１：(x0,y0)≠(x1,y1)

　直線の方程式は以下のとおりである。

$\hspace{10pt} y= \frac {(y_{1}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})}(x-x_{0})+y_{0} \hspace{10pt} (x_{1}≠x_{0}のとき）\\ \hspace{10pt} x=x_{0} \hspace{90pt} (x_{1}=x_{0}のとき)$

Case2：(x0,y0)=(x1,y1)　

　このときの直線は、この点におけるEの接線と考える。

接線の方程式は、

(1)をxで微分すると

$3x^{2}+6kxy+3kx^{2}dy/dx+3y^{2}+6xydy/dx+27ky^{2}dy/dx=0$

よって、

$(3kx^{2}+6xy+27ky^{2})dy/dx=-3x^{2}-6kxy-3y^{2}$

$kx^{2}+2xy+9ky^{2}≠0$ であれば

$\hspace {10pt} dy/dx=-(x^{2}+2kxy+y^{2})/(kx^{2}+2xy+9ky^{2})$

　　Eの点(x0,y0)での接線の方程式は

$\hspace {10pt} y-y_{0}=dy/dx(x-x_{0})$ である。

$kx^{2}+2xy+9ky^{2}=0$ 　のときは、

$\hspace {10pt} (3kx^{2}+6xy+27ky^{2})=(-3x^{2}-6kxy-3y^{2})dx/dy$

　　であるので、Eが非特異であることから、

$\hspace {10pt} (-3x^{2}-6kxy-3y^{2})≠0$ となり、接線の方程式は

$\hspace {10pt} x=x_{0}$ 　である。

　以下、直線が $x=x_{0}$ となる場合を除外して考える。

そのとき、Case1 及び Case2 において、直線の方程式は

$\hspace{10pt} y=m(x-x_{0})+y_{0} =mx+(-mx_{0}+y_{0})$

となる。mは

$\hspace{20pt} (y_{1}-y_{0})/(x_{1}-x_{0})$ 　　　　　　　　　　　　　case 1のとき (2)

$\hspace{20pt} -(x_{0}^{2}+2kx_{0}y_{0}+y_{0}^{2})/(kx_{0}^{2}+2x_{0}y_{0}+9ky_{0}^{2})$ 　case 2 のとき (3)

　これを(1)に代入して

$x^{3}+3kx^{2}(mx+(-mx_{0}+y_{0}))+3x(mx+(-mx_{0}+y_{0}))^{2} \\ +9k(mx+(-mx_{0}+y_{0}))^{3}-1=0$ 　

　これはxの3次方程式でありその根のうちの2つが x0, x1である(x0=x1の場合は2重根と考える)。x2をもう一つの根とすると、

　この方程式の

$x^{3}$ の係数は　→　 $1+3km+3m^{2}+9km^{3}$

$x^{2}$ の係数は　→　 $3k(-mx_{0}+y_{0})+6m(-mx_{0}+y_{0})+27km^{2}(-mx_{0}+y_{0})$

$\hspace{30pt} =3(-mx_{0}+y_{0})(k+2m+9km^{2})$

よって、根と係数の関係より

$x_{0}+x_{1}+x_{2}=- 3(-mx_{0}+y_{0})(k+2m+9km^{2})/(1+3km+3m^{2}+9km^{3})$

である。よって、もう一つのEと直線の交点（x2,y2)の座標は、

$x_{2}=-x_{0}-x_{1}+ 3(mx_{0}-y_{0})(k+2m+9km^{2})/(1+3km+3m^{2}+9km^{3})$

$y_{2}= mx_{2}+(-mx_{0}+y_{0})$ (4)

である。

具体例：

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例1： o=(1,0)で接線を引いて交わるもう一つのEの点 c=(c1,c2)の座標は

$\hspace{25pt}（-1/2(k^{2}-9)/(k^{2}+3), 3/2(k^{2}-1)/k/(k^{2}+3))$

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(3)より　接線の傾き　 $m=dy/dx_{(x,y)=(1,0)}=-1/k$

よって、（4）より

$c_{1}=-2-3(1/k)(k-2/k+9/k)/(1-3+3/k^{2}-9/k^{2}) \\ \hspace{20pt} =-1/2(k^{2}-9)/(k^{2}+3)$

$c_{2}=-1/k \cdot c_{1}+(1/k) \\ \hspace{20pt}= 1/2(k^{2}-9)/k/(k^{2}+3)+(k^{2}+3)/k/(k^{2}+3) \\ \hspace{20pt} =3/2(k^{2}-1)/k/(k^{2}+3)$

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例2：　cで接線を引いて交わるもう一つの E の点 d=(d1,d2)の座標は

$(1/4(k^{4}+18k^{2}-3)(k^{5}-21k^{4}+18k^{3}-18k^{2}-3k-9) \\ (k^{5}+21k^{4}+18k^{3}+18k^{2}-3k+9)/ ( (k^{2}+3)(k^{4}-6k^{2}-3) \\ (k^{8}+180k^{6}+30k^{4}+36k^{2}+9) ),$

$3/4 (k^{2}-1) (k^{4}-6k^{3}+12k^{2}+6k+3)(k^{4}+6k^{3} +12k^{2}-6k+3)(7k^{4}+6k^{2}+3)$

$/ ( k(k^{2}+3)(k^{4}-6k^{2}-3)(k^{8}+180k^{6}+30k^{4} +36k^{2}+9) ) )$

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接線の傾きは(3)で　

$x_{0}=-1/2(k^{2}-9)/(k^{2}+3), y_{0}=3/2(k^{2}-1)/k/(k^{2}+3)$ を代入して計算すると

$m=(5k^{6} - 51k^{4} - 9k^{2} - 9)/k/(k^{6} + 57k^{4} - 21k^{2} + 27)$

よって、（4）より、

$d_{1}=1/4(k^{4} + 18k^{2} - 3) (k^{5} - 21k^{4} + 18k^{3} - 18k^{2} - 3k - 9) (k^{5} + 21k^{4} + 18k^{3} + \\ 18k^{2} - 3k + 9)/( (k^{2}+3)(k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) )$

$d_{2}=3/4(k^{2}-1)(k^{4} - 6k^{3} + 12k^{2} + 6k + 3) (k^{4} + 6k^{3} + 12k^{2} - 6k + 3) (7k^{4} + 6k^{2} \\ + 3)/(k(k^{2}+3)(k^{4}-6k^{2}-3)(k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) )$

である（計算では、kの有理式を多項式の分子と分母にわけsagemathを用いて計算）。

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例3：d及びoと一直線になるEの点d'=(d1’,d2’)の座標は、

$d'_{1}=-(k^{8}+54k^{6}-120k^{4}-54k^{2}-9)(k^{8}-42k^{7}+54k^{6}-162k^{5} \\ -120k^{4}-126k^{3}-54k^{2}-54k-9) \\ (k^{8}+42k^{7}+54k^{6}+162k^{5}-120k^{4}+126k^{3}-54k^{2}+54k-9) \\ /( (5k^{8}-120k^{6}-150k^{4}+9)(k^{16}+696k^{14}+7212k^{12}-792k^{10} \\ +23670k^{8}+23112k^{6}+9612k^{4}+1944k^{2}+81) )$

$d'_{2}=6k(k^{2}-1)(k^{2}+3)(k^{3}-9k^{2}+3k-3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) \\ (k^{4}-6k^{3}+12k^{2}+6k+3)(k^{4}+6k^{3}+12k^{2}-6k+3)(7k^{4}+6k^{2}+3) \\ /( (5k^{8}-120k^{6}-150k^{4}+9)(k^{16}+696k^{14}+7212k^{12}-792k^{10} \\ +23670k^{8}+23112k^{6}+9612k^{4}+1944k^{2}+81) )$

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　(2)よりd, o, d’を通る直線の傾きを求め、(4)よりd'の座標を求めた。

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例4：d で接点を引いて交わるもう一つのEの点　f=(f1,f2) の座標は、

$f_{1}= (-1/8) (k^{20} + 954k^{18} - 37863k^{16} - 32616k^{14} - 251838k^{12} - 679428k^{10} - \\ 606150k^{8} - 355752k^{6} - 118179k^{4} - 16038k^{2} - 243) (k^{21} - 171k^{20} + 954k^{19} - \\ 8550k^{18} - 37863k^{17} - 120555k^{16} - 32616k^{15} - 725544k^{14} - 251838k^{13} - 88182k^{12} \\ - 679428k^{11} + 606204k^{10} - 606150k^{9} + 281394k^{8} - 355752k^{7} + 33048k^{6} - \\ 118179k^{5} + 14337k^{4} - 16038k^{3} + 7290k^{2} - 243k + 729) (k^{21} + 171k^{20} + 954k^{19} \\ + 8550k^{18} - 37863k^{17} + 120555k^{16} - 32616k^{15} + 725544k^{14} - 251838k^{13} + \\ 88182k^{12} - 679428k^{11} - 606204k^{10} - 606150k^{9} - 281394k^{8} - 355752k^{7} - 33048k^{6} - \\ 118179k^{5} - 14337k^{4} - 16038k^{3} - 7290k^{2} - 243k - 729) \\ / ( (k^{2} + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) (k^{16} - 408k^{14} - \\ 7476k^{12} - 12168k^{10} - 13770k^{8} - 1512k^{6} + 1836k^{4} + 648k^{2} + 81) (k^{32} + \\ 11472k^{30} - 290856k^{28} + 12490416k^{26} + 19343484k^{24} + 354080592k^{22} + \\ 219822120k^{20} - 152063568k^{18} + 604522278k^{16} + 1435406832k^{14} + 1188855144k^{12} + \\ 494192016k^{10} + 106676028k^{8} + 11092464k^{6} + 717336k^{4} + 104976k^{2} + 6561) )$

$f_{2}= (9/8) (k - 1) (k + 1) (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3) (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} \\ -270k^{5} - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9) (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} \\ - 144k^{3} - 27k - 9) (k^{12} - 30k^{11} + 216k^{10} + 750k^{9} + 369k^{8} + 180k^{7} + 1656k^{6} \\ - 900k^{5} + 1395k^{4} - 54k^{3} + 432k^{2} + 54k + 27) (k^{12} + 30k^{11} + 216k^{10} - 750k^{9} \\ + 369k^{8} - 180k^{7} + 1656k^{6} + 900k^{5} + 1395k^{4} + 54k^{3} + 432k^{2} - 54k + 27) \\ (19k^{12} + 342k^{10} + 2565k^{8} + 1044k^{6} + 45k^{4} + 54k^{2} + 27) \\ /( k (k^{2} + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) (k^{16} - 408k^{14} \\ -7476k^{12} - 12168k^{10} - 13770k^{8} - 1512k^{6} + 1836k^{4} + 648k^{2} + 81) (k^{32} \\ +11472k^{30} - 290856k^{28} + 12490416k^{26} + 19343484k^{24} + 354080592k^{22} \\ +219822120k^{20} - 152063568k^{18} + 604522278k^{16} + 1435406832k^{14} + 1188855144k^{12} \\ + 494192016k^{10} + 106676028k^{8} + 11092464k^{6} + 717336k^{4} + 104976k^{2} + 6561) )$

-------------------------------------------------

例1~3と同様に求める。

付記2　φ-1　による　Eの有理点のWでの像

(1:0) -> （0:1:0) 　メモ20　付記3命題3による
$c=（-1/2(k^{2}-9)/(k^{2}+3), 3/2(k^{2}-1)/k/(k^{2}+3) ) \\ \rightarrow \hspace{10pt}(−2/9(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)/(k^{2}−1)^{2}, \\ \hspace{20pt} −16/27k(k^{2}+3)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)/(k^{2}−1)^{3})$

メモ20　付記3命題3による。

$d= (1/4(k^{4}+18k^{2}-3)(k^{5}-21k^{4}+18k^{3}-18k^{2}-3k-9) \\ \hspace{20pt} (k^{5}+21k^{4}+18k^{3}+18k^{2}-3k+9)/( (k^{2}+3)(k^{4}-6k^{2}-3) \\ \hspace{20pt} (k^{8}+180k^{6}+30k^{4}+36k^{2}+9) ), \\ \hspace{20pt} 3/4(k^{2}-1)(k^{4}-6k^{3}+12k^{2}+6k+3)(k^{4}+6k^{3}+12k^{2}-6k+3)(7k^{4}+6k^{2}+3) \\ \hspace{20pt} /(k(k^{2}+3)(k^{4}-6k^{2}-3)(k^{8}+180k^{6}+30k^{4} +36k^{2}+9) ) \\ \rightarrow \hspace{10pt} (-2/9(k^{3} - 9k^{2} + 3k -3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)/(k^{2}-1)^{2}, 0)$

sagemathを用いた計算による。

$d'= (d'_{1},d'_{2})$

$d'_{1}=-(k^{8}+54k^{6}-120k^{4}-54k^{2}-9)(k^{8}-42k^{7}+54k^{6}-162k^{5} -120k^{4}-126k^{3} \\ -54k^{2}-54k-9)(k^{8}+42k^{7}+54k^{6}+162k^{5}-120k^{4}+126k^{3}-54k^{2}+54k-9) \\ /( (5k^{8}-120k^{6}-150k^{4}+9)(k^{16}+696k^{14}+7212k^{12}-792k^{10}+23670k^{8}+23112k^{6} \\ +9612k^{4}+1944k^{2}+81) )$

$d'_{2}=6k(k^{2}-1)(k^{2}+3)(k^{3}-9k^{2}+3k-3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)(k^{4}-6k^{3}+12k^{2}+6k+3) \\ (k^{4}+6k^{3}+12k^{2}-6k+3)(7k^{4}+6k^{2}+3)/( (k^{4}-6k^{2}-3)^{9}(5k^{8}-120k^{6}-150k^{4}+9) \\ (k^{16}+696k^{14}+7212k^{12}-792k^{10}+23670k^{8}+23112k^{6}+9612k^{4}+1944k^{2}+81) )$

$\hspace{30pt} \rightarrow (s,t)$

$s=-1/9 (5k^{24} - 2958k^{22} - 29952k^{20} + 258966k^{18} - 2010987k^{16} - 4612140k^{14} \\ -4864536k^{12} - 3591540k^{10} - 1476225k^{8} - 358182k^{6} - 75816k^{4} - 13122k^{2} - 729) \\ / (k^{2}(k^{2}- 1)^{2} (k^{2} + 3)^{2} (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3)^{2} (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)^{2}$

$t=-1/9(k^{4} - 6k^{3} + 12k^{2} + 6k + 3) (k^{4} + 6k^{3} + 12k^{2} - 6k + 3) (7k^{4} + 6k^{2} + 3) \\ (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3) (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9) \\ (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9) /(k^{3} (k ^{2}- 1)^{3} (k^{2} \\ + 3)^{3} (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3)^{3} (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3)^{3}$

sagemathを用いた計算による。k=5でsagemathにより点検済み

$f=(f_{1},f_{2})$

$f_{1}= (-1/8) (k^{20} + 954k^{18} - 37863k^{16} - 32616k^{14} - 251838k^{12} - 679428k^{10} \\ -606150k^{8} - 355752k^{6} - 118179k^{4} - 16038k^{2} - 243) (k^{21} - 171k^{20} + 954k^{19} - 8550k^{18} \\ - 37863k^{17} - 120555k^{16} - 32616k^{15} - 725544k^{14} - 251838k^{13} - 88182k^{12} - 679428k^{11} \\ + 606204k^{10} - 606150k^{9} + 281394k^{8} - 355752k^{7} + 33048k^{6} - 118179k^{5} + 14337k^{4} \\ -16038k^{3} + 7290k^{2} - 243k + 729) (k^{21} + 171k^{20} + 954k^{19} + 8550k^{18} - 37863k^{17} \\ +120555k^{16} - 32616k^{15} + 725544k^{14} - 251838k^{13} + 88182k^{12} - 679428k^{11} - 606204k^{10} \\ - 606150k^{9} - 281394k^{8} - 355752k^{7} - 33048k^{6} - 118179k^{5} - 14337k^{4} - 16038k^{3} \\ -7290k^{2} - 243k - 729) \\ /( (k^{2} + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) (k^{16} - 408k^{14} - 7476k^{12} \\ - 12168k^{10} - 13770k^{8} - 1512k^{6} + 1836k^{4} + 648k^{2} + 81) (k^{32} + 11472k^{30} \\ -290856k^{28} + 12490416k^{26} + 19343484k^{24} + 354080592k^{22} + 219822120k^{20} \\ -152063568k^{18} + 604522278k^{16} + 1435406832k^{14} + 1188855144k^{12} + 494192016k^{10} \\ +106676028k^{8} + 11092464k^{6} + 717336k^{4} + 104976k^{2} + 6561) )$

$f_{2}= (9/8) (k - 1) (k + 1) (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3) (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} \\ - 54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9) (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k \\ - 9) (k^{12} - 30k^{11} + 216k^{10} + 750k^{9} + 369k^{8} + 180k^{7} + 1656k^{6} - 900k^{5} + 1395k^{4} \\ - 54k^{3} + 432k^{2} + 54k + 27) (k^{12} + 30k^{11} + 216k^{10} - 750k^{9} + 369k^{8} - 180k^{7} \\ +1656k^{6} + 900k^{5} + 1395k^{4} + 54k^{3} + 432k^{2} - 54k + 27) (19k^{12} + 342k^{10} + 2565k^{8} \\ +1044k^{6} + 45k^{4} + 54k^{2} + 27) \\ / ( k (k^{2} + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} + 180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) \\ (k^{16} - 408k^{14} -7476k^{12} - 12168k^{10} - 13770k^{8} - 1512k^{6} + 1836k^{4} + 648k^{2} + 81) \\ (k^{32} + 11472k^{30} -290856k^{28} + 12490416k^{26} + 19343484k^{24} + 354080592k^{22} + 219822120k^{20} \\ -152063568k^{18} + 604522278k^{16} + 1435406832k^{14} + 1188855144k^{12} + 494192016k^{10} \\ +106676028k^{8} + 11092464k^{6} + 717336k^{4} + 104976k^{2} + 6561) )$

$\hspace{30pt} \rightarrow (s,t)$

$s=(-2/81) (k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3) (25k^{48} \\ - 90816k^{46} - 3452868k^{44} +1225882224k^{42} + 13336042554k^{40} + 100110943008k^{38} \\ + 423122789340k^{36} -1301456814480k^{34} + 394707828879k^{32} + 17626500999936k^{30} \\ + 42785962709688k^{28} +57497130344160k^{26} + 57397615344396k^{24} + 50402410315200k^{22} \\ + 34245995211864k^{20} +15251018046048k^{18} + 4520873577159k^{16} + 1335195202752k^{14} \\ + 548735664780k^{12} +187825893552k^{10} + 39314942298k^{8} + 4914766368k^{6} + 414523980k^{4} \\ + 25509168k^{2} +531441) \\ / ( (k^{2}- 1)^{2} (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3)^{2} (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} \\ -54k^{4} - 144k^{3} - 27k + 9)^{2} (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9)^{2}$

$t=(-32/729) k (k^{2}+3)(k^{3} - 9k^{2} + 3k - 3) (k^{3} + 9k^{2} + 3k + 3) (k^{4} - 6k^{2} - 3) (k^{8} \\ +180k^{6} + 30k^{4} + 36k^{2} + 9) (k^{12} - 72k^{11} + 174k^{10} - 672k^{9} - 1053k^{8} - 2160k^{7} \\ -684k^{6} - 2592k^{5} - 297k^{4} - 648k^{3} - 162k^{2} - 27) (k^{12} - 30k^{11} + 216k^{10} + 750k^{9} \\ +369k^{8} + 180k^{7} + 1656k^{6} - 900k^{5} + 1395k^{4} - 54k^{3} + 432k^{2} + 54k + 27) (k^{12} \\ +30k^{11} + 216k^{10} - 750k^{9} + 369k^{8} - 180k^{7} + 1656k^{6} + 900k^{5} + 1395k^{4} + 54k^{3} \\ +432k^{2} - 54k + 27) (k^{12} + 72k^{11} + 174k^{10} + 672k^{9} - 1053k^{8} + 2160k^{7} - 684k^{6} \\ +2592k^{5} - 297k^{4} + 648k^{3} - 162k^{2} - 27) (19k^{12} + 342k^{10} + 2565k^{8} + 1044k^{6} + 45k^{4} \\ + 54k^{2} + 27) \\ / ( (k^{2}- 1)^{3} (k^{6} + 33k^{4} + 27k^{2} + 3)^{3} (k^{9} - 27k^{8} - 72k^{7} + 72k^{6} - 270k^{5} - 54k^{4} \\ - 144k^{3} - 27k + 9)^{3} (k^{9} + 27k^{8} - 72k^{7} - 72k^{6} - 270k^{5} + 54k^{4} - 144k^{3} - 27k - 9)^{3}$