2022-06-30

メモ28　楕円曲線の等分点の作る体と虚数乗法について学び続ける

1.　はじめに

　メモ26に書いたように、楕円曲線の等分点の作る体や虚数乗法について学ぶためSilverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始め、ざっと読んだ。でもどうもすっきり頭に入ってこない。そこで章末の問題をやってみて理解（したとの誤解?）の定着を図ることを試みた。

　その中の問題の一つ（問題Aとする）が3日かかっても解決の道筋がまったく見えない。ペンディングにして別の問題（問題Bとする)を行うと、問題Bの解答と問題Aの主張が両立しないことが分かった。そこでネット検索をすると、[Sil] の正誤表を見つけ、問題A自体が訂正されていることがわかった。私の持っている[Sil]は1992年発行（なんと30年前）なのでしょうがないのかもしれない。

　このメモは、問題Bの解答（と考えているもの）と訂正された問題Aの（かなり）部分的解答との備忘録である。問題Aはいつまで経っても解けないので、どなたか教えていただければ幸いです。

2．問題B

　[Sil] の問題6.18である。その内容は以下のとおり。

◆問題B◆

Cを楕円曲線　 $C:y^{2}=x^{3}+x$ , $\hspace{10pt}\beta$ を
$\hspace{50pt} \beta=\sqrt[ 4 ]{\dfrac{8\sqrt{3}-12}{9}}$
とする。このとき以下を示せ。
(a) $\beta$ の $\mathbb{Q}$ 上の既約方程式は $\\ 27x^{8}+72x^{4}-16=0$ である。
(b) $\mathbb{Q}(C[3])=\mathbb{Q}(\beta , i),$ であることを示せ。なお、 $\hspace{5pt}C[3]$ はCの3等分点の集合である。
(c) $\mathbb{Q}(\beta,i)$ の $\mathbb{Q}(i)$ 上のガロア群を計算せよ。特にアーベル群であることを示せ。

(解答の流れ)

(a)と(b)はメモ26に示したとおりである。

(c)　 $\gamma=\dfrac{2\sqrt{-i}}{\sqrt[4]{27}\beta}, \hspace{5pt}\gamma'=\dfrac{2\sqrt{i}}{\sqrt[4]{27}\beta}$ とすればメモ26にも示したとおり(a)の既約方程式の根は $\pm \beta, \pm i\beta, \pm \gamma, \pm \gamma'$ である。

メモ26に示したとおり、 $\gamma=\dfrac{(i-1)(1+\sqrt{3})}{2} \cdot \beta$ である。同様の計算で $\gamma'=\dfrac{(i+1)(1+\sqrt{3})}{2} \cdot \beta$ である。したがって、 $\gamma'=-i\gamma$ 　である。よって、(a)の既約方程式の根は $\pm \beta, \pm i\beta, \pm \gamma, \pm i\gamma$ である。

ガロア群 $Gal(Q(\beta,i)/Q(i))$ の元 $\sigma$ を

$\sigma(\beta)=\gamma$ 　で定め、 $\sigma^{i}( i=1～7)$ を求めると下表のとおりである。ここで、 $\beta^{4}=\dfrac{4(2\sqrt{3}-3)}{9}, \gamma^{4}=\dfrac{-4(2\sqrt{3}+3)}{9}$ であることから $\sqrt3^{\sigma}=-\sqrt{3}$ に注意する。

$\sigma^{i}による像$
	$\beta$	$i\beta$	$\gamma$	$i\gamma$
$\sigma$	$\gamma$	$i\gamma$	$i\beta$	$-\beta$
$\sigma^{2}$	$i\beta$	$-\beta$	$i\gamma$	$-\gamma$
$\sigma^{3}$	$i\gamma$	$-\gamma$	$-\beta$	$-i\beta$
$\sigma^{4}$	$-\beta$	$-i\beta$	$-\gamma$	$-i\gamma$
$\sigma^{5}$	$-\gamma$	$-i\gamma$	$-i\beta$	$\beta$
$\sigma^{6}$	$-i\beta$	$\beta$	$-i\gamma$	$\gamma$
$\sigma^{7}$	$-i\gamma$	$\gamma$	$\beta$	$i\beta$
$\sigma^{8}$	$\beta$	$i\beta$	$\gamma$	$i\gamma$

　以上より、ガロア群 $Gal(Q(\beta,i)/Q(i))$ は位数8の巡回群である。

　なお、 $\tau$ を複素共役をとる写像とすると $\tau \in Gal(Q(\beta,i)/Q$ 　であり、 $\beta^{\tau\sigma\tau}=i\gamma, \hspace{5pt} \gamma^{\tau\sigma\tau}=-\beta$ 等より $\tau\sigma\tau=\sigma^{3}$ である。

3. 問題A

　1992年発行[Sil] の問題6.17である。その内容は以下のとおり。

◆問題A◆

(b) すべての $\sigma \in Gal(Kn/\mathbb{Q})$ について、 $\sigma\tau =\tau\sigma^{-1}$ である。
(c) $Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ はすべての $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i))$ が $\sigma^{2}=e$ を満たす場合に限りアーベル群となる。

(おかしな点)

　問題Bはn=3のケースである。このとき、上で示したように $\sigma\tau =\tau\sigma^{3}$ である。これは、(b)の主張に矛盾する。

4. 訂正された問題A

　以下が訂正された問題Aである。

◆訂正された問題A◆

Cを楕円曲線　 $C:y^{2}=x^{3}+x$ , $\hspace{10pt}K_{n}=\mathbb{Q}(i)(C [n ])$ を $\mathbb{Q}$ にCのn等分点の座標を加えてできる体とする。これは $\mathbb{Q}$ 上のガロア拡大である。このとき、以下を示せ。
(a) $\tau :\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ を複素共役とすると $\tau \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ である。このとき、すべての $s \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ は $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i)), t \in \{e,\tau \}$ により $s=\sigma t$ の形で一意にかける。
(b) すべての $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i))$ に対して $m \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$ が存在して、すべての $P \in C[n]$ に対し、以下が成り立つ。
$\hspace{20pt}(\sigma\tau\sigma\tau^{-1})(P)=mP$
言い換えれば、 $\sigma\tau\sigma\tau^{-1}$ の $P \in C[n]$ への作用に関する行列は対角行列

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}m&0 \\ 0&m \end{pmatrix}\end{eqnarray} である。

(c) $Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ はすべての $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i))$ に対し $m \in \mathbb{Z}$ が存在して、すべての $P \in C[n]$ に対し、以下が成り立つ場合に限りアーベル群となる。
$\hspace{20pt}(\sigma^{2})(P)=mP$

(解答の流れ)

(a) 集合として $Gal(K_{n}/\mathbb{Q})= Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i)) \cup Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i)) \tau$ よって、 $s \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ は $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i)), t \in \{e,\tau \}$ により $s=\sigma t$ の形に書ける。また、 $s=\sigma t=\sigma 't'$ とすると、 $s^{-1}s=tt'^{-1} \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i)) \cap \{e,\tau\}=\{e\}$ よって、 $s=s'$ かつ $t=t'$ である。

(b) $s =\sigma\tau\sigma\tau^{-1}$ とおくと、 $s\tau=(\sigma\tau\sigma\tau^{-1})\tau=\sigma\tau\sigma$ 一方、 $\tau\sigma\tau^{-1} \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i))$ よって、 $\tau\sigma\tau^{-1}$ と $\sigma$ は可換([Sil]本文中にCは虚数乗法を持ち $K_{n}/\mathbb{Q}(i)$ はアーベル拡大であることが示されている。）よって、 $(\sigma\tau\sigma\tau^{-1})\tau=(\tau\sigma\tau^{-1}\sigma)\tau=\tau s$ これは $s$ が $\tau$ と可換、したがって、 $s$ は $Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ のすべての元と可換である。

今、 $\rho_{n}:Gal(K_{n}/\mathbb{Q}) \rightarrow GL_{2}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 　をC[n]の群としての同型写像から作成したガロア表現とする。C[n]に基底を必要なら変更して $\rho_{n}(τ)$ 　を　\begin{eqnarray}\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 0& \delta \end{pmatrix} \end{eqnarray}　としてよい。 $\rho_{n}(τ)^{2}$ は、

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&\delta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\end{eqnarray} より、

$\alpha^{2}=1,\hspace{5pt}\beta(\alpha+\delta)=0,\hspace{5pt}\delta^{2}=1$ 　

よって、

$\alpha=\pm 1,\hspace{5pt}\delta\pm1$

よって、可能な行列は、以下の4パターンである。

\begin{eqnarray} (1) \begin{pmatrix}1&\beta \\ 0&1 \end{pmatrix},2\beta=0\hspace{10pt}(2) \begin{pmatrix}-1&\beta \\ 0&-1 \end{pmatrix},2\beta=0\hspace{10pt}(3)\begin{pmatrix}1&\beta \\ 0&-1 \end{pmatrix},\hspace{10pt}(4)\begin{pmatrix}-1&\beta \\ 0&1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}

$\phi$ を楕円曲線Cの虚数乗法 $\phi:C\rightarrow C,\hspace{5pt}\phi(x,u)=(-x,iy)$ とすると $\phi$ は $C[n]\rightarrow C[n]$ の同型を引き起こすので、行列　\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta' \end{pmatrix}\end{eqnarray} で表されるとすると、 $P \in C[n]$ に対し

$\phi(\phi(P))=\phi(\phi(x,y))=\phi(-x,iy)=(x,-y)=-P$ より

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta' \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha'^{2}+\beta'\gamma'&\beta'(\alpha'+\delta') \\ \gamma'(\alpha'+\delta')&\beta'\gamma'+\delta'^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\end{eqnarray} 　

したがって、 $\alpha'^{2}=\delta'^{2},\hspace{5pt}\beta'(\alpha'+\delta')=\gamma'(\alpha'+\delta')=0,\hspace{5pt}\alpha'^{2}+\beta'\gamma'=-1$

また、 $\tau\phi(P))=\tau(-x,iy)=(\tau(-x),\tau(iy))=(-\tau(x),-i\tau(y))=-\phi(\tau(P))$ より

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha\alpha'+\beta\gamma'&\alpha\beta'+\beta\delta' \\ \delta\gamma'&\delta\delta' \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta' \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&\delta \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}\alpha\alpha'&\alpha'\beta+\beta'\delta \\ \alpha\gamma'&\beta\gamma'+\delta\delta' \end{pmatrix}\end{eqnarray}

したがって、

$2\alpha\alpha'+\beta\gamma'=0,\hspace{5pt}\alpha\gamma'=-\delta\gamma',\hspace{5pt}\alpha\alpha'+\beta\delta'=-\alpha'\beta-\beta'\delta, \hspace{5pt} 2\delta\delta'+\beta\gamma'=0$

$\tau,\phi$ に対応する行列は逆元を有するので、 $\alpha,\delta,\alpha'\delta'-\beta'\gamma'$ は逆元を有する。

　したがって、 $n \neq 0(mod2)$ であれば、 $2(\alpha'\delta'-\beta'\gamma')=-\alpha^{-1}\beta\gamma'\delta'-2\beta'\gamma'=-\gamma'(\alpha^{-1}\beta\delta'+2\beta')$ より　 $\gamma'$ は逆元を有する。

　また、(1),(2)の場合、 $\alpha=\delta$ なので　 $\gamma'=-\gamma'$ 　したがって、 $n \neq 0(mod2)$ であれば、(1)、(2)のケースはありえない。よって、 $\rho_{n}(\tau)$ を

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&-\alpha \end{pmatrix},\hspace{5pt} \alpha=\pm 1\end{eqnarray}

としてよい。

$s=\sigma\tau\sigma\tau^{-1}$ について $\rho_{n}(s)$ を

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}\end{eqnarray}

とおくと、 $s$ は $\tau$ と交換可能なので行列で表すと

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&-\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\alpha&a\beta-b\alpha \\ c\alpha&c\beta-d\alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&-\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b \\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\alpha+c\beta&b\alpha+d\beta \\ -c\alpha&-d\alpha \end{pmatrix}\end{eqnarray}

より $c\beta=0,\hspace{5pt}2c\alpha=0,\hspace{5pt}(a-d)\beta=2b\alpha$

$2c \alpha=0$ より $2c=0$ よって、 $n \neq 0 (mod 2)$ であれば、 $c=0$ よって、

\begin{eqnarray}s=\begin{pmatrix}a&b \\ 0&d\end{pmatrix}\end{eqnarray}

である。

　また、 $s$ と虚数乗法 $\phi$ は交換可能なので、

\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha'&\beta' \\ \gamma'&\delta'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\alpha'+b\gamma'&a\beta'+b\delta'　\\ c\alpha'+d\gamma'&c\beta'+d\delta'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha'&\beta'\\ \gamma'&\delta'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\alpha'+c\beta'&b\alpha'+d\beta' \\ a\gamma'+c\delta'&b\gamma'+d\delta' \end{pmatrix}\end{eqnarray}

より、 $b\gamma'=c\beta',\hspace{5pt}a\beta'+b\delta'=b\alpha'+d\beta',\hspace{5pt}c\alpha'+d\gamma'=a\gamma'+c\delta'$

　また、 $c=0$ であるので $b\gamma'=0,\hspace{5pt}d\gamma'=a\gamma'$

$\gamma'$ は逆元を有するので、 $b=0,\hspace{5pt}a=d$

以上より、 $n \neq 0(mod2)$ であれば、(b)が言えた。

$\Rightarrow$

$Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ がアベール群であれば(b)より、 $\sigma\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^{2}=mP$

$\Leftarrow$

$C[n]$ の基底をうまく選べば $\rho_{n}(\tau)$ を

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&\alpha\end{pmatrix},\alpha=\pm1\end{eqnarray} としてよい。

　今 $\sigma \in Gal(K_{n}/\mathbb Q(i))$ の $\rho_{n}$ による像を

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}\end{eqnarray} とする。スカラー行列は基底をどのように選んでもスカラー行列であるから、条件より \begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^{2}+bc&b(a+d)\\c(a+d) &bc+d^{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray} から、 $a^{2}+bc=m,\hspace{5pt}a^{2}=d^{2},\hspace{5pt}b(a+d)=c(a+d)=0$

$Gal(K_{n}/\mathbb {Q})$ がアーベル群であることをいうには、 $\sigma$ と $\tau$ が可換であることをいえばよい。

$\sigma'=\tau\sigma\tau^{-1}$ とすると $\sigma' \in Gal(K_{n}/\mathbb{Q}(i))$ したがって、仮定より $\rho_{n}(\sigma'^{2})$ は、\begin{pmatrix}m'&0 \\ 0&m' \end{pmatrix}である。一方、 $\sigma'^{2}=\tau\sigma\tau^{-1}\tau\sigma\tau^{-1}=\tau\sigma^{2}\tau^{-1}=\sigma^{2}$

(b)より $s=\sigma\tau\sigma\tau^{-1}$ は $\tau$ と可換かつ行列として \begin{pmatrix}m&0 \\ 0&m \end{pmatrix}　したがって、

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}m&0 \\ 0&m \end{pmatrix}=\rho_{n}(s)\end{eqnarray}

$=\rho_{n}(\sigma\tau\sigma\tau)=\rho_{n}(\sigma\sigma')=\rho_{n}(\sigma^{2})\rho_{n}(\sigma^{-1}\sigma')=$

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}m'&0\\ 0&m'\end{pmatrix} \hspace{30pt}\end{eqnarray} $\cdot\rho_{n} (\sigma^{-1}\sigma')$

　よって、 $\rho_{n} (\sigma^{-1}\sigma')$ は、

\begin{pmatrix}m/m'&0 \\ 0&m/m' \end{pmatrix} に等しい。

$e=\sigma^{-2}\sigma'^{2}=\sigma^{-1}(\sigma^{-1}\sigma')\sigma'=(\sigma^{-1}\sigma')\sigma^{-1}\sigma'=(\sigma^{-1}\sigma')^{2}$ したがって、

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\end{eqnarray}

$=\rho_{n}((\sigma^{-1}\sigma')^{2})=\rho_{n}(\sigma^{-1}\sigma')^{2}=$

\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}m^{2}/m'^{2} & 0 \\ 0 & m^{2}/m'^{2}\end{pmatrix}\end{eqnarray} よって、 $m=m'$ または $m=-m'$ 　である。

$m=m'$ のとき $\sigma=\sigma'$ よって $\sigma$ は $\tau$ と可換である。

$m=-m'$ のとき

$\sigma^{-1}\sigma'$ は、 \begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}

したがって、 $Gal(K_{n}/\mathbb{Q})$ のすべての元と可換であるので、 $\tau$ と可換。よって、

$\rho_{n}(\sigma^{-1}\sigma'\tau)=\rho_{n}(\tau\sigma^{-1}\sigma')$

$\rho_{n}(\sigma'\tau)=\rho_{n}(\sigma\tau\sigma^{-1}\sigma')$

$\rho_{n}(\tau\sigma)=\rho_{n}(\sigma\tau)\rho_{n}(\sigma^{-1}\sigma')$

よって、 \begin{eqnarray}\begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&-\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\alpha+c\beta&b\alpha+d\beta\\-c\alpha&-d\alpha\end{pmatrix}\end{eqnarray} \begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha&\beta \\ 0&-\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a\alpha&-a\beta+b\alpha\\-c\alpha&-c\beta+d\alpha\end{pmatrix}\end{eqnarray}

より $c\beta=-2a\alpha,\hspace{5pt}(a+d)\beta=0,\hspace{5pt}c\beta=2d\alpha$

$a^{2}+bc=m',\hspace{5pt}a^{2}=d^{2},\hspace{5pt}b(a+d)=c(a+d)=0$ であるので、

$a+d \neq 0$ であれば、 $a=b=c=d=0$ となり矛盾。よって $a+d=0$

(以下、未完）

2022-06-21

メモ27　第24回日曜数学会での発表の補足

1．はじめに

　2022年6月19日（日）の第24回日曜数学会で、2つの自然数の3乗の和として2通りに表される数（タクシー2）もn通りに表せる数(タクシーn)も有理数の3乗の違いしかないことを発表したが、重要なことを明確に言わなかったような気がするのでここにメモしておく。最初に復習から。

２．最初に少し復習

定義：タクシーn $m, m'$ に対し、同値関係～を $\exists s \in \mathbb{Q}, m=s^{3}m'$ で定める。

定義：有理数から0を除いた集合 $\mathbb{Q}*$ の元 $k,k'$ に対し、同値関係 $R$ を $(1+3k^{2})/(1+3k'^{2}) \in \mathbb{Q}*^{3}$ 　で定め、 $kRk'$ と表す。

命題　 $T_{n}$ をタクシーnの集合とするとき、 $T_{2}$ の～による商集合と

区間(0,1)のRによる商集合の間に全単射 $F$ が存在する。

　 $F$ は、 $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3} \hspace{5pt}(x_{1} \gt y_{1},x_{2} \gt y_{2})$ とするとき

　 $F([m])=[(x_{1}-y_{1})/(x_{1}+y_{1})]$ で定める。[ ]は同値類を示す。

　また、 $T_{2}/～=T_{n}/～$ が成り立つ。

3.　タクシーnの同値類の求め方

　上の命題により、 $T_{n}$ 　の同値類を求めるには、区間(0,1)に含まれる関係 $R$ で同値な元を $k_{1},\cdots k_{n}$ を見つければよい。

このとき、

　 $(1+k_{i})^{3}+(1-k_{i})^{3}=2(1+3k_{i}^{2})$ 　なので、適当に自然数をかけてやればタクシーnが得られる。

(1)　方法その1

　試したことはないが、分母の小さな範囲でシラミつぶしで検索する。

(2)　方法その2

　楕円曲線の有理点より同値の $k$ を求める。

$kRk'$ であれば、

$\hspace{10pt}(1+3k'^{2})/(1+3k^{2})=l^{3}$

$\hspace{10pt}3k'^{2}=(1+3k^{2})l^{3}-1$

両辺に $3^{3}(1+3k^{2})^{2}$ をかけて

$\hspace{10pt}(9(1+3k^{2})k')^{2}=((1+3k^{2})l)^{3}-432((1+3k^{2})/4)^{2}$

したがって、楕円曲線

$\hspace{10pt}y^{2}=x^{3}-432((1+3k^{2})/4)^{2}$ 　の有理点 $(x,y)$ で

$0 \lt y \lt 9(1+3k^{2})$ となるものを例えば　SageMath を用いて $n$ 個見つける（kの分母が大きいとおそらく計算できないが）。

$k=2/7$ として楕円曲線の有理点を用いて計算したところ、以下の13個が同値だとわかった。

$2/7$
$197/488$
$44111/85184$
$54083/576000$
$201629/1125000$
$347122/1817251$
$1481605/4962312$
$2654875/6640704$
$8737856/12970125$
$3563468/18346543$
$21188248/39651821$
$2413600472/6260024107$
$6067688888/6937188811$

これより、174桁のタクシー13

$447829182955932749053168838197902701236163487141126630009353881394783325625288662738109 \\ 805024941731878736333673720640789607119308029852675763882725250624701223728807504000000$

$= 2^{10} 3^{6} 5^{6} 7 \cdot 11^{3} 13^{6} 19^{3} 31^{3} 37^{3} 41^{3} 61 \cdot 67^{3} 79^{3} 97^{3} 103^{3} 223^{3} 271^{3} 313^{3} 643^{3} 997^{3} 8059^{3} 18979^{3} 50971^{3} 105769^{3} 510067^{3}$

$=7257616505900918696362535625468575105065254359393358593400 ^{3} \\ + 4032009169944954831312519791926986169480696866329643663000 ^{3}$

$= 7464665625438632593105610966135096016471019874150826781500 ^{3} \\ + 3171120725551302313275522322839872906267250778653854880900 ^{3}$

$=7570703247575267715866282987179780377330913466919710679750 ^{3} \\+ 2404976947969055036109484830290692752528037502044110574650 ^{3}$

$=6585019268601417768216398154631236979328423855955367724505 ^3 \\ + 5454572654095803501021608066985891240582832727797222995495 ^3$

$=6944472954384817244932550235695301181476153720327203950668 ^3 \\+ 4833547989952928124042677978307579547289270426692203049332 ^3$

$=6986195984598482740684526135566637049019484782526039686200 ^3 \\+4745304675599715406300023943726171301452183216040037552600 ^3$

$=7286485789707183441928918185983607730246635006965765712300 ^3 \\+3935823831007494565278553251443251877999603997877500513300 ^3$

$=7459658336805979150673959448389412772685607800431428349050 ^3 \\+3198608987017703692492058548931112814203472796432131836550 ^3$

$=7631945699231227388470601776197355721170403862853905543080 ^3 \\+1487952619478506430799579440793918444128090216507782826920 ^3$

$=6997255498102780581811967551963797498576842692020410243400 ^3 \\+4721173020981859071155644432047396767910059870775036405000 ^3$

$=7580773134439338745569445244379641752931470993502134314600 ^3 \\+2300591706497892778533007233096766461903555347478471508200 ^3$

$=7440456217870852882234488634946477691517815252012257543400 ^3 \\+3299560223172665622450455922320709282413405180065659921000 ^3$

$=7649990048980662226549042557849378726611807140327943898600 ^3 \\+511474687612858267947130277720403947059587365936212132200 ^3$

を得た。あまり大きすぎて自慢にもならないですね。

　ｋの分母が10000以下ぐらいの同値類をそのうちにシラミつぶしで定めてみたいなと思っています。

　ご関心のある方、ご連絡ください。

2022-06-19

第24回日曜数学会の発表資料

　第24回日曜数学会(2022.6.19)で発表する（した）資料です。ご関心のある方はご覧いただけると嬉しいです。

2022-05-16

メモ26　楕円曲線の等分点の作る体について学び始める

1.　はじめに

　Q上の楕円曲線の等分点の作る体や関連して虚数乗法の話が面白そうにみえたので、Silverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始める。その後、Hasse-Weil ゼータ関数でも具体的に計算してみようかなという、大雑把な構想を描く。

　第6章を読み始めたのはよいが、具体的な計算がどうもうまくいかない。P191にあった楕円曲線

　 $\hspace{20pt}C：y^{2}=x^{3}+x$

の3等分点の作る体のところでつまずいてしまった。2日かけてようやく解決したので、備忘録としてメモに残しておくことにした。これでは先が思いやられる。

2.　問題

　Cの3等分点（C[3]と記す）は8点あり、原点を加えると、群としてC[3]≅Z/3Z⊕Z/3Z　となる。

具体的には、

$C [3 ] =\{ \mathcal{O}, (α,±β), (α,±iβ), ( \dfrac{i}{ \sqrt{3} α},± \dfrac{2 \sqrt{-i} }{ \sqrt [4 ] {27}β}),( \dfrac{-i}{\sqrt{3}α},± \dfrac{2 \sqrt{i} }{ \sqrt [4 ] {27}β } ) \}$

　ここで、 $α= \sqrt{ \dfrac{2 \sqrt{3} -3}{3} }, \hspace{10pt} β=\sqrt[4]{ \dfrac {8\sqrt{3}-12}{9} }= \sqrt {\dfrac {2α}{ \sqrt{3} } }$

このとき、Q にC[3]の座標を加えてできる体はQ(β,i)に等しい。

というのが問題である。

3.　解決の流れ

　 $α^{2}= \dfrac{2 \sqrt{3}-3}{3}$ 　であるので　 $\mathbb{Q} (α)⊃ \mathbb{Q}( \sqrt{3})$

　 $β^{2}=\dfrac{2α}{\sqrt{3}}, \hspace{10pt} β^{4}=\dfrac{4α^2}{3}=\dfrac{4(2\sqrt{3}-3)}{9}$

したがって、 $β$ の満たす $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 上での $β$ の既約方程式は　

　 $x^{4}-\dfrac{4/(2\sqrt{3}-3)}{9}=0$ であり、この方程式の根は、 $β,-β,iβ,-iβ$ である。

この方程式は $\mathbb{Q}(\sqrt{3},i)$ 上の多項式としても既約である。

　また、 $(x^{4}-\dfrac{4(2\sqrt{3}-3)}{9})(x^{4}+\dfrac{4(2\sqrt{3}+3)}{9})=x^{8}+\dfrac{8}{3}x^{4}-\dfrac{16}{27}=0$

は、 $β$ の満たす $\mathbb{Q}$ 上の既約方程式である。

$γ=\dfrac{2\sqrt{-i}}{\sqrt[4]{27}β}, \hspace{10pt}γ'=\dfrac{2\sqrt{i}}{\sqrt[4]{27}β}$ とすると

$γ^{2}=\dfrac{-4i}{\sqrt{27}β^{2}}, \hspace{10pt}γ^{4}=\dfrac{-16}{27β^{4}}=\dfrac{-16}{27}\cdot \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{1}{(2\sqrt{3}-3)}=\dfrac{-4(2\sqrt{3}+3)}{9}$

　同様に $γ’^{4}=\dfrac{-4(2\sqrt{3}+3)}{9}$

よって、 $β$ が満たすこの方程式の他の根は、 $-β,iβ,-iβ,±γ,±γ'$ 　である。

　 $\mathbb{Q}$ に $C[3]$ の座標を加えてできる体が $\mathbb{Q}(β,i)$ に等しいことを示すには　 $γ,γ'∊\mathbb{Q}(β,i)$ を言えばよい。

$γ^{2}=\dfrac{-4i}{\sqrt{27}β^{2}}=\dfrac{2(1-i)^{2}}{\sqrt{27}}\cdot \dfrac{β^{2}}{β^{4}}=2(1-i)^{2}\cdot \dfrac{β^{2}}{\sqrt{27}β^{4}}$

$=2(1-i)^{2} \cdot \dfrac{β^{2}}{\sqrt{27} \cdot \dfrac{4}{9}\cdot (2\sqrt{3}-3)}$

$=(1-i)^{2} \cdot \dfrac{β^{2}}{\dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot (2\sqrt{3}-3)}$

$=(1-i)^{2}\cdot \dfrac{2\sqrt{3}+3}{2\sqrt{3}} \cdot β^{2}=(1-i)^{2}\cdot \dfrac{2+\sqrt{3}}{2} \cdot β^{2}$

$=(1-i)^{2} \cdot (\dfrac{1+\sqrt{3}}{2})^{2} \cdot β^{2}$

よって、 $γ=±\dfrac{(i-1)(1+\sqrt{3})}{2} \cdot β$ 　

偏角を考えて　 $γ=\dfrac{(i-1)(1+\sqrt{3})}{2} \cdot β$ 　　　したがって、　 $γ　∊\mathbb{Q}(β,i)$ である。　 $γ’$ についても同様。

　下図に関係する体の関係を示す。直近の体間の拡大次数はすべて2である。

2022-04-30

メモ25 　タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合（その4）

1. はじめに

（その3）の最後に「既存のタクシーnからランクの大きな楕円曲線 $W_{3}$ が得られるのではないだろうか。」と書いたが、いくつか試してみたので、それをメモとして残して、このタイトルでのメモは終わりにしようと思う。

　（その2）の「１．はじめに」　に書いたとおり、n番目のタクシー数Ta(n)は、以下のとおり。

　Ta(1)=2

Ta(2)=1729

Ta(3)=87539319

Ta(4)=6963472309248

Ta(5)=48988659276962496

Ta(6)=24153319581254312065344

　ウィキペディアでは、Ta(7)以降は、上限が分かっているとして、以下があげられている。

Ta(7) ≦ 24885189317885898975235988544

Ta(8) ≦ 50974398750539071400590819921724352

Ta(9) ≦ 136897813798023990395783317207361432493888

Ta(10) ≦ 7335345315241855602572782233444632535674275447104

Ta(11) ≦ 87039729655193781808322993393446581825405320183232000

Ta(12) ≦ 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000

　この不等式の右辺を便宜上T'a(n)と記すこととする。

　2つの自然数の立方数の組としてこれらの数を生成するn個（n=3,....12)の自然数の組について、それらから得られる楕円曲線 $W_{3} \hspace{5pt}t^{2}=s^{3}-432 \{ (3k^{2}+1)/4 \} ^{2}$ の有理点が一次独立かどうか調べたのでメモとして残しておく。

2. 楕円曲線の有理点の独立性をチェックする一方法

　楕円曲線の有理点の独立性をチェックする簡便な方法が、「Rank5以上の楕円曲線について」（https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/39/4/39_4_358/_article/-char/ja/）という論文に載っていたので、その方法を用いることとした。方法の概略は以下のとおりである。

---------------------------------------------------------

楕円曲線 $y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ のn個の有理点 $P_{1}=(x_{1},y_{1}), P_{2}=(x_{2},y_{2}), ....,P_{n}=(x_{n},y_{n})$ が独立でないとすると

$\hspace{10pt} Σm_{i}P_{i}=0$ となる整数 $m_{i} \hspace{5pt}(1≦i≦n)$ が存在する。よって、

$Σn_{i}P_{i}＝２R, \hspace{10pt} n_{i}$ は0か1 となる有理点 $R$ が存在する。

$Σn_{i}P_{i}=(s,w), \hspace{5pt} R=(x,y)$ とすると、「メモ4　(楕円曲線の加法公式）」の最後に記した2倍の式のx座標に着目すると、

$\hspace{10pt}s=(x^{4}-2bx^{2}-8cx+b^{2}-4ac)/(4(x^{3}+ax^{2}+bx+c))$

これを整理して

$\hspace{10pt}x^{4}-4sx^{3}-2(b+2as)x^{2}-4(2c+bs)x+b^2-4ac-4cs=0$

よって、この方程式が有理数体上で既約であることを示せば $P_{1},....,P_{n}$ は独立となる。

---------------------------------------------------------

今関心があるのは、楕円曲線 $W_{3} \hspace{5pt}t^{2}=s^{3}-432 \{ (3k^{2}+1)/4 \} ^2$ であるので $a=0,b=0,c=-432 \{ (3k^{2}+1)/4 \}^{2}$ であり、

$x^{4}-4sx^{3}-8cx-4cs=0$ が有理数体上で既約であるかどうかを確かめれば良い。なお、可約である場合は、独立であるのかそうでないのかはわからない。

3. 独立性の計算結果

　Ta(n)等から得られる $W_{3}$ の有理点について、Sagemath　を用いて、独立性を確かめた。その結果は表のとおりである。n=3,4については,Ta(3),Ta(4)以外に小さなタクシー3,4についても確かめた。最大でランク7以上の楕円曲線が得られた。

　なお、独立かどうか不明と書いたのは本方法では分からなかったの意味である。

　表にあげたn=3のケース、つまり5つのタクシー3では、m=175959000の場合を除いてランクが3以上である。「メモ24の4.タクシー3の探索」ではタクシー2から得られる2つの有理点の線形結合のなかから3番目の有理点を求めている。したがって、タクシー3から生じる楕円曲線の有理点のなす群のランクが3以上の場合は、その方法ではタクシー3を求めることはできない。

　ところで、

$\hspace{15pt}Ta(6)=79^{3} \cdot Ta(5)$

$\hspace{15pt}T'a(7)=101^{3} \cdot Ta(6)$

$\hspace{15pt}T'a(8)=127^{3} \cdot T'a(7)$

$\hspace{15pt}T'a(9)=139^{3} \cdot T'a(8)$

$\hspace{15pt}T'a(10)=13^{3} \cdot 29^{3} \cdot T'a(9)$

$\hspace{15pt}T'a(12)=3^{3} \cdot 19^{3} \cdot T'a(11)$

であり、 $Ta(5),Ta(6),T'a(7),T'a(8),T'a(9).T'a(10)$ は関係～により同値（つまり有理数の3乗を掛ければ他方が得られる）であり、ランク7以上の楕円曲線の有理点から得られる。また、 $T'a(11)$ と $T'a(12)$ も関係～について同値である。

2022-04-23

メモ24　タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合（その3）

1．はじめに

　メモ22,23の「タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合」のその1と2で、3乗の違いを無視すれば、タクシー2もタクシーn(>2)も同じであることを書いたが、その検討の際にいくつか気づいたことがあった。それについて、備忘録としてメモしておく。あわせて、メモ22,23の結果をもとにした、タクシー3の探索法について記す。但し、あまり良い結果は得られない。

　最初に用語の定義や得られた命題等を書いておく。

タクシー2：2つの自然数の3乗の和として2通りに表せる自然数
mをタクシー2とすると　有理数a,b≠0,t≠0が存在して
$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t \lbrace (1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \hspace {10pt} p_{1} \gt A_{1} \gt 0$
$p_{2}=6tb, A_{2}=2t \{ a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \} \hspace{10pt} p_{2} \gt A_{2} \gt 0$
$m= \{ (p_{1}+A_{1})/2 \}^{3}+ \{ (p_{1}-A_{1})/2 \}^{3}= \{ (p_{2}+A_{2})/2 \}^{3}+ \{ (p_{2}-A_{2})/2 \} ^{3}$
となる。
タクシーn　(nは2以上の自然数)：2つの自然数の3乗の和としてn通りに表せる自然数
広義タクシーn：２つの有理数の3乗の和でn通りに表わされる0でない有理数
Tn：タクシーnの集合。以下で表わされる。　　　　　　　　　　　　　　　　 $Tn = \{ m∈N:相異なる∃x_{1},y_{1}, ⋯, x_{n},y_{n}∈N, x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=⋯=x_{n}^{3}+y_{n}^{3} \}$
Wn:広義タクシーnの集合。以下で表わされる。　　　　　　　　　　　　　　 $WTn= \{ m∈Q^{*}:相異なる∃x_{1},y_{1},⋯,x_{n},y_{n}∈Q,x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=⋯=x_{n}^{3}+y_{n}^{3} \}$
～：以下で定義されるTn（Wn）における同値関係　　　　　　　　　　　　　 $m, m′∈T_{n} (WT_{n})$ に対し、 $m～m′$ を $∃s∈Q^{*},m=s^{3}m′$ とする。
R：以下で定義される有理数の乗法群 $Q^{*}$ における同値関係(メモ22ではRkと書いた同値関係）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $x,y∈Q^{*}$ に対し $xRy$ を $(1+3x^{2})/(1+3y^{2})∈(Q^{*})^{3}$ とする。
写像 $\hat {F}$ ： $T_{n}/～ \hspace{5pt} → \hspace{5pt} Q^{*}/R$ が定まる。 $[ m ] \in T_{n}/～$ に対し $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=⋯=x_{n}^{3}+y_{n}^{3}$ のとき　 $\hat {F} ( [ m ] )= [ (x_{1}-y_{1})/(x_{1}+y_{1}) ]$
メモ22の命題6： $WT_{2}=・・・=WT_{n} (n \gt 2)$
メモ23の命題7： $T_{2}/～=T_{n}/～　(n \gt 2)$

---------------------------------------------------------------------
命題8　写像 $\hat {F} :T_{n}/～ → (Q^{*}- \{ ±1 \} )/R$ 　は単射であり、その値域は(0,1)/Rである。
---------------------------------------------------------------------
（説明）付記1を参照のこと　　　　　　　　　　　（説明終）

2．みんな　楕円曲線　 $y^{2}=x^{3}-432r^{2}$ 　に関係してくる

　タクシー数関係をいろいろさわっているうちに、 $y^{2}=x^{3}-432r^{2}$ の形の楕円曲線に3回遭遇した(以下の(1),(2),(3)）。

(1)　 $(E_{1}) \hspace{10pt} x^{3}+y^{3}=m$ は $(W_{1}) \hspace{10pt} t^{2}=s^{3}-432m^{2}$ と双有理同値
　平面3次曲線 $E_{1}$ は、タクシー数そのものに関係する。1.で定義したタクシーnとは、 $E_{1}$ の点である自然数のペア $(x,y)$ がn個あることである。
「メモ12　タクシー数と楕円曲線：rank 2以上の楕円曲線がどんどん出てくる」の最初の部分に記したが、平面３次曲線 $E_{1}$ とそのWeierstrass標準形 $W_{1}$ との間には以下の関係がある。

$\hspace{20pt} s=12m/(x+y) \hspace{40pt} x=(36m+t)/(6s)$
$\hspace{20pt} t=36m(x-y)/(x+y) \hspace{8pt} y=(36m-t)/(6s)$

　したがって、 $W_{1}$ の有理点で、上の変換式で $E_{1}$ の有理点に変換したとき、それの座標が自然数となるものがn個ある時、それがタクシーnである。

(2)　平面3次曲線 $(E_{2})　\hspace{10pt} x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 (k≠0、±1)$ 　は、 $(W_{2}) \hspace{10pt} t^{2}=s^{3}-432 \{ 2/27(1+3k^{2}) \} ^{2}$ と双有理同値
　メモ19に楕円曲線 $(E_{2})$ と双有理同値なWeierstrass標準形を示したが、実は以下に示す通り、 $W_{2}$ のようなさらに簡単な形に変換できることが分かった（Webサイトで楕円曲線の有理点等に関する豊富なデータを提供しているNakaoさんからのご指摘による）。

$\hspace{10pt} x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0$ を変形して
$\hspace{10pt} (x+3ky)(x^{2}+3y^{2})=1　\hspace{40pt} (1)$
$\hspace{10pt} S=x+3ky$

$\hspace{10pt} T=-kx+y$
とおくと、
$\hspace{10pt} x=(S-3kT)/(1+3k^{2})$

$\hspace{10pt} y=(kS+T)/(1+3k^{2})$

$\hspace{10pt} x^{2}+3y^{2}=1/(1+3k^{2})^{2} \{ (S-3kT)^{2}+3(-kS+T)^{2} \} \\ \hspace{50pt} =1/(1+3k^{2})^{2}(1+3k^{2})(S^{2}+3T^{2}) \\ \hspace{50pt} =(S^{2}+3T^{2})/(1+3k^{2})$
これを(1)に代入して、
$\hspace{10pt} S(S^{2}+3T^{2})/(1+3k^{2})=1$
$\hspace{10pt} 3ST^{2}=-S^{3}+(1+3k^{2})$
両辺に $2^{6}/3^{3}(1+3k^{2})^{2}/S^{3}$ をかけて
$\hspace{10pt} (8/3(1+3k^{2})T/S)^{2}=-2^{6}/3^{3}(1+3k^{2})^{2}+ \{ 4/3(1+3k^{2})/S \}^{3}$
$\hspace{10pt} s=4/3(1+3k^{2})/S, t=8/3(1+3k^{2})T/S$ とおけば
$\hspace{10pt} t^{2}=s^{3}-432 \{ 2/27(1+3k^{2}) \} ^{2}$
また,x,yとの関係は

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
s=4/3 \cdot (1+3k^{2})/(x+3ky) \\
t=8/3 \cdot (1+3k^{2})(-kx+y)/(x+3ky) \hspace{20pt} (2)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x= \{ 8(1+3k^{2})-9kt \} / \{ 6s(1+3k^{2}) \} \\
y= \{ 8k(1+3k^{2})+3t \} / \{ 6s(1+3k^{2}) \} \hspace{30pt} (3)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}

この $W_{2}$ と $E_{2}$ 間の双有理変換を $Ψ：W_{2} \rightarrow E_{2}, Ψ^{-1}：E_{2} \rightarrow W_{2}$ で表すこととする。
　なお、メモ19で報告した変換からも $W_{2}$ が得られることも確認した。この双有理変換を $φ：W_{2} (S,T)→E_{2} (x,y)$ とする。結果だけここに記す。

$φ(S,T)=(B/A、C/A)$
ここで、
$\hspace{5pt} A=9(k^{2}-1)S^{2}-12(k^{2}-1)^{2}S+12k(k^{2}+3)T+32(3k^{2}+1)^{2}$
$\hspace{5pt} B=9(k^{2}-1)S^{2}-24S(5k^{2}-1)-6Tk(k^{2}-9)-16(13k^{4}+18k^{2}+1)$
$\hspace{5pt} C=2 \{ 12k(k^{2}+3)S+9(k^{2}-1)T-8k(k^{2}-1)(k^{2}+3) \}$

　 $φ^{-1}(x,y)=(4/3/(x+ky-1) \{ 2(k^{2}-1)x-8ky+(k^{2}-1) \} , \\ -8/3/(x+ky−1)^{2} \{k(k^{2}+3)x^{2}+k(13k^{2}-9)y^{2}-(k^{4}-12k^{2}+3)xy-k(k^{2}+3) \} )$

詳しくは付記2を参照のこと。

(3)同値関係 R でkと同値な有理数k’は $(W_{3}) \hspace{10pt} t^{2}=s^{3}-432 \{ (3k^{2}+1)/4 \} ^{2}$ の有理点より得られる。

　kRk’ とは、有理数 $l$ に対し、 $(1+3k’^{2})/(1+3k^{2})=l^3$ を意味する。
この式を書き換えると　
$\hspace{10pt} 1+3k’^{2}=(1+3k^{2})l^{3}$
$\hspace{10pt} 3k’^{2}=(1+3k^{2})l^{3}-1$
両辺に $3^{3}(1+3k^{2})^{2}$ を掛けて
$\hspace{10pt} \{ 9(1+3k^{2})k’ \}^{2}= \{ 3(1+3k^{2})l \}^{3}-432 \{ (1+3k^{2})/4 \}^{2}$
したがって、ｋ’は楕円曲線 $t^{2}=s^{3}-432 \{ (1+3k^{2})/4 \}^{2}$ の有理点 $(s,t)$ より $k'=t/ \{ 9(1+3k^{2}) \}$ で与えられる。
　なお、 $W_{2}$ 上の点を $(s,t)$ 、 $W_{3}$ 上の点を $(s',t')$ とすれば、 $W_{2}$ と $W_{3}$ の間には
$\hspace{10pt} s’=(3/2)^{2}s, t’=(3/2)^{3}t \hspace{30pt} (4)$
の関係がある。

3．平面3次曲線 $(E_{2}) \hspace{10pt} x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 (k≠0、±1)$ の有理点

　 $E_{2}$ と $W_{2}$ の間の2つの双有理変換が得られたこと、 $W_{2}$ と $W_{3}$ の間の双有理変換が得られたことから、どれかの曲線の有理点がわかれば、他の曲線の有理点が導かれる。
　平面3次曲線 $E_{2}$ のすぐにわかる有理点として(1,0)がある。変換式（2）より　 $W_{2}$ の有理点 $(4/3(1+3k^{2}),-8/3k(1+3k^{2}))$ を得る。したがって、 $(4/3(1+3k^{2}),8/3k(1+3k^{2})$ もまた $W_{2}$ の有理点である。これに変換式（3）を適用し $E_{2}$ の有理点 $( (1-3k^{2})/(1+3k^{2}),2k/(1+3k^{2}))$ を得る。下表にこうして得られた有理点をいくつか示す。

4．タクシー3の探索

　mをタクシーn（n>2)とすると、自然数 $x_{1},y_{1},....., x_{n},y_{n}$ が存在して
$m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}= ....... =x_{n}^{3}+y_{n}^{3}$ である。
ここで、 $x_{i} \gt y_{i}$ とすれば　これらが定める $k_{i}=(x_{i}-y_{i})/(x_{i}+y_{i})$ は区間(0,1)にふくまれ、全て関係Rで同値である。逆に、同値な有理数 $k_{i}(i=1,....,n)$ が区間(0,1)含まれれば、有理数 $l_{i}(i=2,...,n)$ が存在して、 $(1+3k_{i}^{2})=l_{i}^{3}(1+3k_{1}^{2})$ である。したがって、

$\hspace{5pt} ( \frac{1+k_{i}}{2} )^{3}+( \frac{1-k_{i}}{2} )^{3}= \frac{1+3k_{i}^{2}}{4}=l_{i}^{3} \cdot \frac{1+3k_{1}^{2}}{4}=(l_{i} \cdot \frac{1+k_{1}}{2})^{3}+(l_{i} \cdot \frac{1-k_{1}}{2})^{3}$

この式の両端の式が自然数の3乗の和となるよう分母を払ってやれば、自然数 $x_{i},y_{i}$ が存在して $k_{i}=(x_{i}-y_{i})/(x_{i}+y_{i})$ 、かつ、 $x_{i}^{3}+y_{i}^{3}=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}$ となる。 $(x_{i},y_{i})$ は全て異なる自然数のペアとなりタクシーnが得られる。
　よって、タクシー3を見つけるには、区間(0,1)に含まれる同値な $k$ を3個見つければ良い。言い換えれば、区間（0,1）に含まれる有理数 $k$ について、
$(W_{3}) \hspace{10pt} t^{2}=s^{3}-432 \{ (3k^{2}+1)/4 \} ^{2}$ の有理点で $t/ \{ 9(1+3k^{2}) \}$ が区間(0,1)に含まれるものを3個見つければよい。Sagemathの機能を使って $W_{3}$ の有理点群の生成元を見つけ、その線形結合として条件に合う有理点を見つけることが考えられるが、試してみたところ $k$ の分母が大きくなると、結果が得られない(得られるのかもしれないが、計算し続けるので途中で打ち切った）。

　一つの探索法は以下のとおり。
①　有理数 $a$ を区間(0,1)から選定する。
②　この $a$ について、メモ23の青色領域に入る $b$ を選定する。
③　①,②で選んだ $(a,b)$ はタクシー2を定めるので、
$\hspace{10pt} p_{1}=6b(a^{2}+3b^{2}) \hspace{5pt} A_{1}=2(1-a(a^{2}+3b^{2}))$
$\hspace{10pt} p_{2}=6b, A_{2}=2(a-(a^{2}+3b^{2})^{2})$
$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2,y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$ とおくとき、 $p_{1}/A_{1}=(x_{1}-y_{1})/(x_{1}+y_{1}), p_{2}/A_{2}=(x_{2}-y_{2})/(x_{2}+y_{2})$ となる。また、青色領域の定め方より、 $p_{1} \gt A_{1} \gt 0, p_{2} \gt A_{2}$
よって、 $p_{1}/A_{1}$ は区間(0,1)に属す。 $A_{2} \gt 0$ のときは $p_{2}/A_{2}$ も区間(0,1)に含まれる。 $A_{2} \lt ０$ のときは $-p_{2}/A_{2}$ が区間(0,1)に含まれる。
　よって、 $k=p_{1}/A_{1}, k_{2}=p_{2}/A_{2}$ ( $A_{2} \gt 0$ のとき) または $-p_{2}/A_{2}$ ( $A_{2} \lt 0$ のとき)とすれば、 $k,k_{2}$ とも区間(0,1)に含まれ、しかも関係Rについて同値である。 $(1+3k_{2}^{2})/(1+3k^{2})=l^{3}$ とするとき、 $k,k_{2}$ から定まる $W_{3}$ の有理点
$(3(1+3k^{2}), 9(1+3k^{2})k), (3(1+3k^{2})l, 9(1+3k^{2})k_{2})$ をそれぞれ $P,Q$ とおく。
（注： $P$ と $Q$ は $W_{3}$ の有理点群の生成元となるようだ。全ての生成元を尽くすわけではない。）
④　 $P$ と $Q$ の線形結合より条件にあう $W_{3}$ の有理点を計算する。これはsagemathにより簡単に実施できる。

　 $a,b$ の分母が2から26までの範囲で計算したところ、比較的小さなタクシー3として、下表が得られた。

　上に示した方法は、 $k_{3}$ を $k$ と $k_{2}$ の線形結合から求めているので、 $k_{3}$ の分母は大きな値になっている。おそらく、大きなランクの有理点群をもつ $W_{3}$ からは、かなり小さなタクシーn(n>=3)が得られるのではないだろうか。逆に言うと、既存のタクシーnからランクの大きな楕円曲線 $W_{3}$ が得られるのではないだろうか。

付記

付記1

命題8　写像 $\hat {F} :T_{n}/～ → (Q^{*}- \{ ±1 \} )/R$ は単射であり、その値域は(0,1)/Rである。
------------------------------------------------------------------
（説明）　
・ $\hat {F}$ の値域が $(0,1)/R$ に含まれること。
$ｍ$ を　 $T_{n}/～$ における $[ m ]$ の代表元とすると $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=... =x_{n}^{3}+y_{n}^{3}$
$(a_{i},b_{i},t_{i})$ が存在して、 $p_{i}=6t_{i}b_{i}X_{i}, A_{i}=2t_{i}(1-a_{i}X_{i})$ ここで　 $X_{i}=a_{i}^{2}+3b_{i}^{2}$
$x_{i}=(p_{i}+A_{i})/2,y_{i}=(p_{i}-A_{i})/2$ ここで $x_{i} \gt 0, y_{i} \gt 0, x_{i} \gt y_{i} (i=1, ... ,n)$ としてよいので
$\hat {F}( [ m ] )=p_{i}/A_{i}=(x_{i}-y_{i})/(x_{i}+y_{i})$ の同値類。したがって $(0,1)/R$ に含まれる。
・単射であること。 $[ m ]、[ m’ ] ∈Tn/～$ に対し、 $m、m’$ を $T_{n}$ における $[ m ], [ m’ ]$ の代表元とする。
そうすると $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=... =x_{n}^{3}+y_{n}^{3}$ $m’=x_{1}’^{3}+y_{1}’^{3}=...=x_{n}’^{3}+y_{n}’^{3}$
$(a_{i},b_{i},t_{i})$ が存在して、 $p_{i}=6t_{i}b_{i}X_{i}, A_{i}=2(1-a_{i}X_{i})$ ここで　 $X_{i}=a_{i}^{2}+3b_{i}^{2}$
$x_{i}=(p_{i}+A_{i})/2,y_{i}=(p_{i}-A_{i})/2 (a_{i}’,b_{i}’,t_{i}’)$ が存在して、 $p_{i}’=6t_{i}’b_{i}’X_{i}’, A_{i}’=2t_{i}'(1-a_{i}’X_{i}’)$ ここで $X_{i}’=a_{i}’^{2}+3b_{i}’^{2}, x_{i}’=(p_{i}’+A_{i}’)/2,y_{i}’=(p_{i}’-A_{i}’)/2$
である。今、 $[ m ] ～ [ m' ]$ とすると、 $A_{i}/P_{i}$ が $[ m ]$ を、 $A_{i}’/p_{i}’$ 　が $[ m’ ]$ を代表するとしてよいので、有理数 $s_{i}$ が存在して $1+3(A_{i}/p_{i})^{2}=s_{i}^{3}（1+3(A_{i}’/p_{i}’)^{2})$ である。
$1+3(A_{i}/p_{i})^{2}=1/p_{i}^{3} \{ p_{i}(p_{i}^{2}+3A_{i}^{2}) \} =4/p_{i}^{3}(x_{i}^{3}+y_{i}^{3})$
$1+3(A_{i}’/p_{i}’)^{2}=1/p_{i}’^{3} \{ p_{i}’(p_{i}’^{2}+3A_{i}’^{2}) \} =4/p_{i}’^{3}(x_{i}’^{3}+y_{i}’^{3})$
したがって、 $(x_{i}^{3}+y_{i}^{3})=s_{i}^{3}(p_{i}/p_{i}’)^{3}(x_{i}’^{3}+y_{i}’^{3})$
これは　 $[ m ] ～ [ m' ]$ であることを示す。
（説明終）

付記2

命題9　3次平面曲線 $(E_{2}) \hspace{10pt}x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 (k≠0、±1)$ は、 $(W_{2}) \hspace{10pt} T^{2}=S^{3}-432 \{ 2/27(1+3k^{2}) \} ^{2}$ と双有理同値である。変換式は

　 $φ^{-1}(x,y)=(4/3/(x+ky-1) \{ 2(k^{2}-1)x-8ky+(k^{2}-1) \} , \\ -8/3/(x+ky−1)^{2} \{k(k^{2}+3)x^{2}+k(13k^{2}-9)y^{2}-(k^{4}-12k^{2}+3)xy-k(k^{2}+3) \} )$

---------------------------------------------

（説明）　「メモ19　ある有理点を有する平面3次曲線のweierstrass標準形への変換」より平面3次曲線 $E_{2}$ は、楕円曲線 $(W) \hspace{10pt} t^{2}+a_{1}st+a_{3}t=s^{3}+a_{2}s^{2}+a_4s+a_{6}$ と双有理同値であり、両者の変換式は以下のとおり。
$\hspace{10pt} s= \{ 2(k^{2}−1)x−2/3(k^{2}+15)ky+2(k^{2}−1) \} /(x+ky−1)$
$\hspace{10pt} t=−8/9y(yk^{7}−5xk^{6}+57yk^{5}−4k^{6}+51xk^{4}−21yk^{3}−24k^{4}+9xk^{2} \\ \hspace{20pt} +27yk−36k^{2}+9x)/ \{ (x+ky−1)^{2}(k^{2}−1) \}$

ここで、 $a_{1}=−8k(3+k^{2})/ \{ 3(k^{2}−1) \} , a_{2}=2/ \{ 9(k^{2}−1)^{2} \}(k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9), \\ a_{3}=0, a_{4}=4/3(k^{2}−1)^{2}, a_{6}=8/27(k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9)$

　　 $x=B/A$
　　 $y=C/A$
ここで
$A=9(k^{2}−1)^{2}s^{2}−16k^{2}(k^{2}+3)^{2}s+12k(k^{2}−1)(k^{2}+3)t \\ \hspace{10pt} −4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)$
$B=9(k^{2}−1)^{2}s^{2}+4(5k^{6}−51k^{4}−9k^{2}−9)s−6k(k^{2}−1)(k^{2}−9)t \\ \hspace{10pt} +4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3)$
$C=18t(k^{2}−1)^{2}$
である。

$t^{2}+a_{1}st+a_{3}t=s^{3}+a_{2}s^{2}+a_{4}s+a_{6}$ を $a_{3}=0$ に注意して変形すると
$(t+a_{1}/2 \cdot s)^{2}=s^{3}+(a_{2}+a_{1}^{2}/4)s^{2}+a_{4}s+a_{6}$
$a_{2}+a_{1}^{2}/4=2/ \{ 9(k^{2}−1)^{2} \} (k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9) \\ \hspace{10pt} + \lbrack −8k(3+k^{2})/ \{ 3(k^{2}−1) \} \rbrack ^{2}/4 \\ \hspace{10pt} =2/9/(k^{2}-1)^{2} \{ (k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9)+8k^{2}(3+k^{2})^{2} \} \\ \hspace{10pt} =2/9/(k^{2}-1)^{2}(9k^{6}-27k^{4}+27k^{2}-9)=2/(k^{2}-1)^{2}(k^{2}-1)^{3}=2(k^{2}-1)$
より
$\{ t-4/3k(3+k^{2})/(k^{2}−1)s \} ^{2} \\ \hspace{10pt} =s^{3}+2(k^{2}-1)s^{2}+4/3(k^{2}−1)^{2}s+8/27(k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9) \\ \hspace{10pt} = \{ s+2/3(k^{2}-1) \} ^{3}-8/27(k^{2}-1)^{3}+8/27(k^{6}−75k^{4}−45k^{2}−9) \\ \hspace{10pt} = \{ s+2/3(k^{2}-1) \} ^{3}-8/27(72k^{4}+48k^{2}+8) \\ \hspace{10pt} = \{ s+2/3(k^{2}-1) \} ^{3}-64/27(3k^{2}+1)^{2} \\ \hspace{10pt} = \{ s+2/3(k^{2}-1) \} ^{3}-432 \{ 2/27(3k^{2}+1) \} ^{2}$
よって
$S=s+2/3(k^{2}-1), T=t-4/3k(3+k^{2})/(k^{2}−1)s$ とおくと
$T^{2}=S^{3}-432 \{ 2/27(1+3k^{2}) \} ^{2}$
x,yとの関係は、
$S=s+2/3(k^{2}-1)= \{ 2(k^{2}−1)x−2/3(k^{2}+15)ky+2(k^{2}−1) \} /(x+ky−1)+2/3(k^{2}-1) \\ \hspace{10pt} =2/3/(x+ky-1) \{ 3(k^{2}−1)x−(k^{2}+15)ky+3(k^{2}−1)+(x+ky-1)(k^{2}-1) \} \\ \hspace{10pt} =2/3/(x+ky-1) \{ 4(k^{2}-1)x-16ky+2(k^{2}-1) \} \\ \hspace{10pt} =4/3/(x+ky-1) \{ 2(k^{2}-1)x-8ky+(k^{2}-1) \}$
$T=t-4/3k(3+k^{2})/(k^{2}−1)s \\ \hspace{10pt} =−8/9y(yk^{7}−5xk^{6}+57yk^{5}−4k^{6}+51xk^{4}−21yk^{3}−24k^{4}+9xk^{2} \\ \hspace{10pt} +27yk−36k^{2}+9x)/ \{ (x+ky−1)^{2}(k^{2}−1) \} \\ \hspace{10pt} -4/3k(3+k^{2})/(k^{2}−1) \{ 2(k^{2}−1)x−2/3(k^{2}+15)ky+2(k^{2}−1) \} /(x+ky−1) \\ \hspace{10pt} =-4/9/ \{ (x+ky−1)^{2} (k^{2}−1) \} \{ 2y(yk^{7}−5xk^{6}+57yk^{5}−4k^{6}+51xk^{4} \\ \hspace{10pt} −21yk^{3}−24k^{4}+9xk^{2}+27yk−36k^{2}+9x) \\ \hspace{10pt} +3(x+ky-1)k(3+k^{2}) \{ 2(k^{2}−1)x−2/3(k^{2}+15)ky+2(k^{2}−1) \}$

{ }内の計算：　
$x^{2}$ の係数： $6k(k^{2}+3)(k^{2}-1)$
$y^{2}$ の係数： $2k^{7}+114k^{5}-42k^{3}+54k+3k^{2}(k^{2}+3)(-2/3(k^{2}+15)k) \\ =6k(13k^4-22k^{2}+9)=6k(13k^{2}-9)(k^{2}-1)$
$xy$ の係数： $-10k^{6}+102k^{4}+18k^{2}+18-2k^{2}(k^{2}+3)(k^{2}+15) \\+6k^{2}(k^{2}+3)(k^{2}-1) \\ =-6(k^{6}-13k^{4}+15k^{2}-3)=-6(k^{4}-12k^{2}+3)(k^{2}-1)$
$x$ の係数　： $6k(k^{2}+3)(k^{2}-1)-6k(k^{2}+3)(k^{2}-1)=0$
$y$ の係数　： $-8k^{6}-48k^{4}-72k^{2}+6k^{2}(k^{2}+3)(k^{2}-1) \\ +2k^{2}(k^{2}+3)(k^{2}+15) \\ =0$
定数　　： $-6k(k^{2}+3)(k^{2}-1)$

$T=-4/9/(x+ky−1)^{2}6 \{ k(k^{2}+3)x^{2}+k(13k^{2}-9)y^{2}-(k^{4}-12k^{2}+3)xy-k(k^{2}+3) \} \\ \hspace{10pt} =-8/3/(x+ky−1)^{2} \{ k(k^{2}+3)x^{2}+k(13k^{2}-9)y^{2}-(k^{4}-12k^{2}+3)xy-k(k^{2}+3) \}$

逆変換は、A,B,Cに含まれる　s,tをS,Tで置き換えればよい。

$A=9(k^{2}−1)^{2}s^{2}−16k^{2}(k^{2}+3)^{2}s+12k(k^{2}−1)(k^{2}+3)t \\ −4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) \\ =9(k^{2}−1)^{2} \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ^{2}−16k^{2}(k^{2}+3)^{2} \{ S-2/3(k^{2}-1) \} \\ +12k(k^{2}−1)(k^{2}+3) [ T+4/3k(k^{2}+3)/(k^{2}-1) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ] \\ −4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) \\ =1/(k^{2}-1) [ 9(k^{2}−1)^{3} \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ^{2} −(k^{2}-1)16k^{2}(k^{2}+3)^{2} \{ S-2/3(k^{2}-1) \} \\ +12k(k^{2}−1)(k^{2}+3) [ T(k^{2}-1)+4/3k(k^{2}+3) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ] \\ −4(k^{2}−1)^{2}(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) ] \\ =(k^{2}-1) \{ 9(k^{2}-1)S^{2}-12(k^{2}-1)^{2}S+12k(k^{2}+3)T+32(3k^{2}+1)^{2} \}$

$B=9(k^{2}−1)^{2}s^{2}+4(5k^{6}−51k^{4}−9k^{2}−9)s−6k(k^{2}−1)(k^{2}−9)t \\+4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) \\= 9(k^{2}−1)^{2} \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ^{2}+4(5k^{6}−51k^{4}−9k^{2}−9) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} \\ −6k(k^{2}−1)(k^{2}−9) [ T+4/3k(k^{2}+3)/(k^{2}-1) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ] \\ +4(k^{2}−1)(k^{3}−9k^{2}+3k−3)(k^{3}+9k^{2}+3k+3) \\ =(k^{2}-1)(9(k^{2}-1)S^{2}-24S(5k^{2}-1)-6Tk(k^{2}-9)-16(13k^{4}+18k^{2}+1))$

$C=18t(k^{2}−1)^{2}=18 [ T+4/3k(k^{2}+3)/(k^{2}-1) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ] (k^{2}-1)^{2} \\ =18[T(k^{2}-1)+4/3k(k^{2}+3) \{ S-2/3(k^{2}-1) \} ] (k^{2}-1) \\ =2(k^{2}-1) \{ 12k(k^{2}+3)S+9(k^{2}-1)T-8k(k^{2}-1)(k^{2}+3) \}$

したがって、A,B,Cを $(k^{2}-1)$ で除したものを改めてA,B,Cとおくと

$x=B/A$
$y=C/A$
ここで
$A=9(k^{2}-1)S^{2}-12(k^{2}-1)^{2}S+12k(k^{2}+3)T+32(3k^{2}+1)^{2}$
$B=9(k^{2}-1)S^{2}-24S(5k^{2}-1)-6Tk(k^{2}-9)-16(13k^{4}+18k^{2}+1)$
$C=2 \{ 12k(k^{2}+3)S+9(k^{2}-1)T-8k(k^{2}-1)(k^{2}+3) \}$

（説明終）

2022-03-14

メモ23 　タクシー数：2通りに表せる場合とn(>2)通りに表せる場合（その2）

1．はじめに

（注）2022年4月14日に誤りを発見し、図1、図2等を訂正しました。タクシー2を与えるa,bのペアは、より狭い範囲となりました。

　メモ22の本文の最後に、「3乗の違いを除けば、タクシー2は、２つの自然数の3乗和としてn通りに書けることになる。」と書いた。つまり、「自然数」を「正の有理数」に変えて、「タクシー2は、２つの正の有理数の3乗和としてn通りに書けることになる。」といっても同じである。本メモでは、それについて調べたことをを書いてみたい。

　ウィキペディアによると「n番目のタクシー数（タクシー数、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。」であり、1954年にハーディらによりTa(n)の存在が証明されたとある。さらに、

　 Ta(1)=2

Ta(2)=1729

Ta(3)=87539319

Ta(4)=6963472309248

Ta(5)=48988659276962496

Ta(6)=24153319581254312065344

としている。

　nが大きくなれば、Ta(n)はものすごく大きくなりそうであるが、 $1729$ であっても　ある自然数 $S$ が存在して、 $1729*S^{3}$ は　2つの立方数の和として n 通りに表わされるのであるから、たかが自然数といっても馬鹿にできない。無限とはどこまでも広がっているものだと実感させられる。ちなみにメモ22の本文の最後に、1729にある自然数の3乗を掛けた数が、2つの立方数の和として4通りに表わされる例を実質的に示している。

　本メモは、メモ22の続きであるので、そこでの定義をそのまま踏襲し、命題の番号は連続させることとする。

2．どのようにパラメータa,b,tを指定すればタクシー2が得られるか。

　3つの有理数 $a, b≠0,t≠0$ に対し、

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}), A_{1}=2t \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$

$p_{2}=6tb, \hspace{40pt} A_{2}=2t \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2, y_{1}=(p_{1}-A_{1})/2, x_{2}=(p_{2}+A_{2})/2, y_{2}=(p_{2}-A_{2})/2$

とすると、 $m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$ は広義タクシー2を与える。これがタクシー2を与えるのはどのような場合だろうか。

　そのために、まず、 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ が正になる条件を考える。これは、正の有理数の立方で2通りに表せる自然数を探すことになる。その自然数に $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ の分母の最小公倍数の3乗を掛ければタクシー2が得られることになる。

　メモ22にも書いたように、広義タクシー2の表現には8通りあるが、メモ22の命題2及び $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ がすべて正であるとすると、 $b \gt 0, a^{2}+3b^{2} \leqq 1, t \gt 0$ としてよい。したがって、 $x_{1} \gt 0, y_{1} \gt 0, x_{2} \gt 0, y_{2} \gt 0$ となる $(a,b)$ を求めるには、

①　 $b \gt 0$

②　 $a^{2}+3b^{2} \leqq 1$

③　 $3b(a^{2}+3b^{2})+ \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \gt 0$

④　 $3b(a^{2}+3b^{2})- \lbrace 1-a(a^{2}+3b^{2}) \rbrace \gt 0$

⑤　 $3b+ \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace \gt 0$

⑥　 $3b- \lbrace a-(a^{2}+3b^{2})^{2} \rbrace \gt 0$

をすべて満たす $(a,b)$ を求めればよい。sageのregion_plot などのグラフ機能を用いて①～⑥を満たす領域を求めるとると図1の青色の領域が該当する。

f:id:fifthtaxi:20220414172905p:plain — 図1：x1, y1, x2, y2 がすべて正である広義タクシー2：m=x1^3+y1^3=x2^3+y2^　を生成する(a,b)の領域

　ちなみに、①の境界が水色、③の境界が緑、④の境界が赤、⑤の境界がマゼンタ、⑥の境界が黄色を示している。

3．自然数の3乗の和として2通りに表せる数にある自然数の3乗を掛ければ、n(>2)通りに表せる

　いよいよ、１．はじめに　に書いたことを命題7で説明する。厳密な証明ではなく感覚的な説明であることをご容赦下さい。

----------------------------------------------------------

（命題7）

タクシー2 の集合 $T_{2}$ の ~ による同値類はどんなn（n>2）についても、タクシーnにより代表される。　つまり、タクシー2に自然数の3乗掛ければ、自然数の立方の和としてn通りに表せる。

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（説明）

　 $m \in T_{2}$ とすると、相違なる自然数 $∃x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$

$m=x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}$

である。また、有理数 a,b,t があって、

$p_{1}=6tb(a^{2}+3b^{2}),A_{1}=2t(1−a(a^{2}+3b^{2}))$

$p_{2}=6tb, \hspace{40pt} A_{2}=2t(a−(a^{2}+3b^{2})^{2})$

$x_{1}=(p_{1}+A_{1})/2,y_{1}=(p_{1}−A_{1})/2,x_{2}=(p_{1}+A_{1})/2,y_{2}=(p_{1}−A_{1})/2$

となる。

　このとき、命題1の系1のより $b≠0$ である。

　命題4,5により、平面3次曲線　

$x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}−1=0 \hspace{15pt} (6)$

ここで、 $k=k(a,b)= \lbrace 1−a(a^{2}+3b^{2)} \rbrace / \lbrace 3b(a^{2}+3b^{2}) \rbrace$

の有理点 $(a′,b′)≠(a,b),(1,0)$ が存在すれば $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ とは異なる有理数 $x_{3}, y_{3}$ が存在して、

$x_{1}^{3}+y_{1}^{3}=x_{2}^{3}+y_{2}^{3}=x_{3}^{3}+y_{3}^{3}$

但し、 $x_{3}とy_{3}$ が正であるためには、 $(a',b')$ が図1の青色の領域にあることが必要十分である。こうした $(a',b')$ がn個存在すれば、ｍの定める同値類はタクシーnで代表されることになる。

　 $k=A_{1}/p_{1}=(x_{1}-y_{1})/(x_{1}+y_{1})$ であり、命題2よりmの8つの表現の仕方によって同値であることは変わらないので、 $x_{1} \gt y_{1} \gt 0$ としてよい。その時、 $0 \lt k \lt 1$ である。図2に $k=0$ と $k=1$ の場合の式（6）平面3次曲線のグラフを示す。

　オレンジが $k=1/4$ 、赤線が $k=1$ のときのグラフである。 $k=1$ のときは（6）の曲線は④の境界線と同一となる。

f:id:fifthtaxi:20220414173433p:plain — 図2：x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0 のグラフ　（k=1/4, 1)

　式（6）で表わされる平面3次曲線の(1,0)における微分係数は、(6)式をxで微分して

$3x^{2}+6kxy+3kx^{2} \frac{dy}{dx} +3y^{2}+6xy \frac{dy}{dx} +27ky^{2} \frac{dy}{dx} =0$

より

$\frac{dy}{dx} =-(x^{2}+2kxy+y^{2})/(kx^{2}+2xy+9ky^{2})$

であるので、

$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = -1/k$ 　　

である。したがって、 $0 \lt k \lt 1$ のとき（6）式の平面3次曲線は青色領域と交わる。

　図2だと少しわかりにくいので(1,0)の付近を拡大した図3を以下に示す。

f:id:fifthtaxi:20220414173636p:plain — 図3：x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0 のグラフと青色領域の交わり

　（6）式の表す平面3次曲線は、無限遠点を付け加えると楕円曲線であり、その有理点群のランクは1以上である（メモ22の命題6の説明を参照）。この平面3次曲線の実数点の集合は連結であるので、リー群としてR/Zと同型。この部分群で位数が無限の部分群は稠密である（この議論は、https://math.stackexchange.com/questions/4336651/dense-rational-points-of-an-elliptic-curve/4338154#4338154　による）。したがって、（6）式の平面3次曲線は青色領域の中に無数の有理点を含む。（説明終）

1. はじめに

2．問題B

3. 問題A

4. 訂正された問題A

1. はじめに

2. 楕円曲線の有理点の独立性をチェックする一方法

3. 独立性の計算結果

1．はじめに

2．みんな 楕円曲線 に関係してくる

3．平面3次曲線 の有理点

4．タクシー3の探索

付記

付記1

付記2

1．はじめに

2．どのようにパラメータa,b,tを指定すればタクシー2が得られるか。

1.　はじめに

2．みんな　楕円曲線　 $y^{2}=x^{3}-432r^{2}$ 　に関係してくる

3．平面3次曲線 $(E_{2}) \hspace{10pt} x^{3}+3kx^{2}y+3xy^{2}+9ky^{3}-1=0 (k≠0、±1)$ の有理点