ES 地面の目印　-数学編‐

以前の数学メモは、地面の目印 -エスワン- にあります。

メモ19　ある有理点を有する平面3次曲線のweierstrass標準形への変換

　次の有理点を有する有理数体上の非特異平面3次曲線　E　を考える。なぜこの曲線を取り上げたかは後日報告できればと思う。

$x^3+3kx^2y+3xy^2+9ky^3-1=0$ (1)

ここで　kは有理数とする。E　は(1,0)を有理点として有する。また、非特異であることは、少し計算すればわかる。このような平面3次曲線は楕円曲線となる

ja.wikipedia.org

ので、weierstrass標準形に変換できるはずである。

（1）の両辺をyの3乗で割ると

$\dfrac{x^3}{y^3}+3k\dfrac{x^2}{y^2}+3\dfrac{x}{y}+9k-\dfrac{1}{y^3}=0$ (2)

を得る。X=x/y, Y=1/y とおくと

$X^3+3kX^2+3X+9k-Y^3=0$ (3)

を得る。さらに　

$z=X+Y+k$

$w=X-Y+k$

とおくと

$X=\dfrac{z+w}{2}-k$

$Y=\dfrac{z-w}{2}$

となるので、これを（3）に代入すれば

$\dfrac{3}{4}wz^2+\dfrac{1}{4}w^3-3(k^2-1)\dfrac{z+w}{2}+2k^3+6k=0$

を得る。これをさらに変形して、

$(zw-k^2+1)^2=-\dfrac{1}{3}w^4+2(k^2-1)w^2-\dfrac{2k^4}{3}(k^2+3)w+(k^2-1)^2$

を得る。ここで

$v=zw-k^2+1$ 　とおけば、

$v^2=-\dfrac{1}{3}w^4+2(k^2-1)w^2-\dfrac{8k}{3}(k^2+3)w+(k^2-1)^2$

を得る。すると、

blog.goo.ne.jp に示した4次楕円曲線の形になるので、

$a=-\dfrac{1}{3}, b=0, c=2(k^2-1), d=-\dfrac{8k}{3}(k^2+3), q=k^2-1$

に注意して

$s=(2q(v+q)+dw)/w^2$

$t=(4q^2(v+q)+2q(dw+cw^2)-d^2w^2/(2q))/w^3$

とすれば、

$t^2+a_{1}st+a_{3}t=s^3+a_{2}s^2+a_{4}s+a_{6}$

となる。ここで、

$a_{1}=d/q, \ a_{2}=c-d^2/(4q^2), \ a_{3}=2qb$

$a_{4}=-4q^2a, \ a_{6}=a_{2}a_{4}=a(d^2-4q^2a)$

である。

　次に、 $v, \ w$ を $x, \ , \ y, \ k$ で表し、 $a_{i}$ を $k$ で表せば、以下を得る。

$s=\{ 2(k^2-1)x-\dfrac{2}{3}(k^2+15)ky+2(k^2-1) \}/(x+ky-1)$
$t=-\dfrac{8}{9} y (yk^7 - 5xk^6 + 57yk^5 - 4k^6 + 51xk^4 - 21yk^3 - 24k^4$

$+ 9xk^2 + 27yk - 36k^2 + 9x)/\{ (x+ky-1)^2(k^2-1)\}$

$a_{1}=-\dfrac{8k(3+k^2)}{3(k^2-1)}, \ a_{2}=\dfrac{2}{9(k^2-1)^2}(k^6-75k^4-45k^2-9)$

$a_{3}=0, \ a_{4}=\dfrac{4}{3}(k^2-1)^2$

$a_{6}=\dfrac{8}{27}(k^6-75k^4-45k^2-9)$

逆変換は、上記の4次楕円曲線のメモより

$w=\{ 2q(s+c)-d^2/(2q) \}/t$

$v=-q+w(ws-d)/(2q)$

であり、上記の $x, \ y, \ z, \ w, \ v$ の関係から

$x=\dfrac{v+k^2-1+w^2-2kw}{v+k^2-1-w^2}$

$y=\dfrac{2w}{v+k^2-1-w^2}$

に注意して、計算すると

$x=\dfrac{B}{A}$

$y=\dfrac{18t(k^2-1)^2}{A}$

ここで

$A=9(k^2-1)^2s^2-16k^2(k^2+3)^2s+12k(k^2-1)(k^2+3)t$

$\quad -4(k^2-1)(k^3-9k^2+3k-3)(k^3+9k^2+3k+3)$

$B=9(k^2-1)^2s^2+4(5k^6-51k^4-9k^2-9)s-6k(k^2-1)(k^2-9)t$

$\quad +4(k^2-1)(k^3-9k^2+3k-3)(k^3+9k^2+3k+3)$

である。

以上、E　とWeierstrass標準形は、なかなか簡単な関係にはならない。また、上記Wikipediaには、

$「P$ が重根を持たない三次多項式として、 $y 2 = P (x)$ とすると、種数 $1$ の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。 $P$ が次数 $4$ で無平方（英語版）とすると、これも種数 $1$ の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。」

とあり、このメモではPとして4次式を経由しているのが気がかりである。もっとうまくWeiestrass標準形に変化する方法があるのかもしれない。