ES 地面の目印　-数学編‐

以前の数学メモは、地面の目印 -エスワン- にあります。

メモ32　x^5+y^5=z^5+w^5 の虚2次体の整数解について　　- 第25回日曜数学会での発表の補足 -

　2022年10月15日の第25回日曜数学会で、 $x^{5}+y^{5}=z^{5}+w^{5}$ の実2次体での整数解を求める発表を行いました。その際、なぜ実2次体なのかという質問をうけ、虚2次体であれば簡単に例が求まるので実2次体とした旨の回答をしました。ここでは、その虚2次体の例を記しておきます。

　 $a^{5}+b^{5}=(c+x)^{5}+(c-x)^{5}$ 　　　　　　　 (1)

とすると

　

　 $a=c+x$ かつ $b=c-x$ 　　　　　　 (2)

または

　 $a=c-x$ かつ $b=c+x$ 　　　　　　 (3)

は（1）の解である。

　(2)を解くと　 $c=(a+b)/2, x=(a-b)/2$

　(3)を解くと　 $c=(a+b)/2, x=(-a+b)/2$

である。

　したがって、 $c=(a+b)/2$ 　とおき、(1) を $x$ に関する方程式とみて、左辺-右辺を整理すると

　 $F=a^{5}+b^{5}-(c+x)^{5}-(c-x)^{5} \\ \hspace{10pt}= -5/16 \cdot (a+b)(2x+a-b)(2x-a+b)(4x^{2}+3a^{2}+2ab+3b^{2})$

　したがって、 $c=(a+b)/2$ かつ $x$ として $4x^{2}+3a^{2}+2ab+3b^{2}=0$ を満たす $x$ をとれば（1）の解である。

　 $4x^{2}+3a^{2}+2ab+3b^{2}=0$ 　を解くと

　 $x=\pm \sqrt{-(3a^2+2ab+3b^2)}/2$

$a,b$ が実数であれば、根号の中は負であるので $x$ は虚数となる。

よって、

　 $a^{5}+b^{5}=\{ (a+b)/2+\sqrt{-(3a^{2}+2ab+3b^{2})}/2 \}^5 \\ \hspace{40pt}+\{ (a+b)/2-\sqrt{-(3a^{2}+2ab+3b^{2})}/2 \}^{5}$

となり、虚2次体整数で5乗和を2通りに表わす例が得られた。

　例えば　 $a=b=1$ とすると　 $x=\pm \sqrt{2}i$ 　であるので

　 $1^{5}+1^{5}=(1+\sqrt{2}i)^{5}+(1-\sqrt{2}i)^{5}$

である。