メモ13　3とおりに表せる2つの立方数の和 - ES 地面の目印　-数学編‐

3とおりで２つの自然数の立方和で表せる自然数の小さいものから4つは以下のとおりである。(http://oeis.org/wiki/Hardy–Ramanujan_numbers を参照）

$167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3\\ \hspace{3cm} =87,539,319=3^3・7・31・67・223\\492^3+90^3=428^3+346^3=493^3+11^3\\ \hspace{3cm} =119,824,488=2^3・3^3・7・19・43・97\\423^3+408^3=522^3+111^3=460^3+359^3\\\hspace{3cm}=143,604,279=3^3・7・13・211・277\\ 198^3+552^3=525^3+315^3=560^3+70^3\\\hspace{3cm}=175,959,000=2^3・3^3・5^3・7^3・19$

また、1番目の式については　 $606^3-513^3=87,539,319$ でもある。

2番目の式については　 $648^3-534^3=119,824,488$

3番目の式については　 $3996^3-3993^3=143,604,279$

4番目の式については　 $630^3-420^3=175,959,000$ でもある。

2とおりの立方和で表せる自然数については、ラマヌジャンの見つけたというパラメータ解

$(6a^2-4ab+4b^2)^3+(-5a^2+5ab+3b^2)^3\\\hspace{3cm}=(4a^2-4ab+6b^2)^3+(3a^2+5ab-5b^2)^3$

がある。３とおりの場合にもそのようなパラメータ解がないか考えているところである。以下、ここでは便宜上、3とおりで2つの自然数の立方和で表せる自然数を「タクシー3」と呼ぶことにする。

　先ず、以下に注意する。

(命題）自然数 $m$ と整数 $x, y (x\gt y)$ について $x^3+y^3=m$ と表わせることと $x+y=p$ とするとき $m=p\cdot{q}\cdot{r} (p,q,r$ は自然数) かつ $3x^2-3px+p^2-qr=0$ は同値である。このとき、 $4qr-p^2=3t^2 (t$ :自然数) $x=(p+t)/2, y=(p-t)/2$ である。

(説明)

⇒　mは自然数なので $x \gt 0$ かつ $x+y\gt 0$ である。 $m=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ なので $x+y=p$ とおくと $m=p{x^2-x(p-x)+(p-x)^2}=p(3x^2-2px+p^2)$ したがって、 $3x^2-2px+p^2=qr$ とおけば、 $3x^2-3px+p^2-qr=0$

⇐　2次方程式 $3z^2-3pz+p^2-qr=0$ は整数 $x$ を解にもつので判別式は平方数である。すなわち、 $(3p)^2-12(p^2-qr)=9t^2 (t$ :自然数) である。 $x+y=p$ なのでこの方程式の他方の解は $y$ であり $x\gt y$ に注意すれば、 $x=(p+t)/2, y=(p-t)/2$ である。

(説明終)

タクシー3　 $x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3=x_3^3+y_3^3 =m$ について上の命題を適用すると

$m=p_{1}q_{1}r_{1}=p_{2}q_{2}r_{2}=p_{3}q_{3}r_{3}$

$4q_1r_1 - p_1^2=3t_1^2$

$4q_2r_2 - p_2^2=3t_2^2$

$4q_3r_3 - p_3^2=3t_3^2$

である。 $p_i,q_i$ がばらばらであると複雑すぎて手の付けようがないので、 $p,q,r$ が巡回的であると考えてみる。

　つまり

$m=pqr$

$4qr - p^2=3t_1^2$

$4rp - q^2=3t_2^2$

$4pq - r^2=3t_3^2$

が成り立てば、　

$(p+t_1)^3+(p-t_1)^3=(q+t_2)^3+(q-t_2)^3\\\hspace{5cm}=(r+t_3)^3+(r-t_3)^3$

となり、非常に美しい。

そこで、最初の2つのタクシー3について状況を調べてみる。

①　タクシー3:　87,539,319　の場合

$167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3=87,539,319=3^3\cdot7\cdot31\cdot67\cdot223$
であるので、
$m=87539319=3\cdot201\cdot217\cdot223$ に注意すると
$x_1+y_1=167+436=603=3\cdot201\hspace{1cm} 4\cdot3\cdot217\cdot223 - (3\cdot201)^2=3\cdot269^2$
$x_2+y_2=228+423=651=3\cdot217\hspace{1cm} 4\cdot3\cdot223\cdot201 - (3\cdot217)^2=3\cdot195^2$
$x_3+y_3=255+414=669=3\cdot223\hspace{1cm} 4\cdot3\cdot201\cdot217 - (3\cdot223)^2=3\cdot159^2$
が成り立つ。

②　タクシー3：　119,824,488　の場合

$492^3+90^3=428^3+346^3=493^3+11^3=119,824,488=2^3\cdot3^3\cdot7\cdot19\cdot43\cdot97$
であり、　 $m=11982488=19\cdot6\cdot84\cdot97\cdot129$ に注意すると
$x_1+y_1=492+90=582=6\cdot97\hspace{1cm} 4\cdot19\cdot129\cdot84 - (6\cdot97)^2=3\cdot402^2$
$x_2+y_2=428+346=774=6\cdot129\hspace{1cm} 4\cdot19\cdot84\cdot97 - (6\cdot129)^2=3\cdot82^2$
$x_3+y_3=493+11=504=6\cdot84\hspace{1cm} 4\cdot19\cdot97\cdot129 - (6\cdot84)^2=3\cdot482^2$
である。

これより、 $m=k_1\cdot{k_2}\cdot{p}\cdot{q}\cdot{r}$ のとき

$4k_{1}qr - (k_{2}p)^2=3t_1^2$
$4k_{1}rp - (k_{2}q)^2=3t_2^2$ 　　　　　　(A)
$4k_{1}pq - (k_{2}r)^2=3t_3^2$

となる自然数解、 $p,q,r,k_1,k_2,t_1,t_2,t_3$ が存在し、その時

$(k_2\cdot{p}+t_1)^3+(k_2\cdot{p}-t_1)^3=(k_2\cdot{q}+t_2)^3+(k_2\cdot{q}-t_2)^3\\ \hspace{7cm}=(k_2\cdot{r}+t_3)^3+(k_2\cdot{r}-t_3)^3$

となることを意味する。
　タクシー3：　87539319の場合は、 $k_1=k_2=3$
　　　　　　　119824488の場合は、 $k_1=19、k_2=6$ である。
このように $k_1,k_2$ が定まることは、3番目と4番目のタクシー3についても同様である。

　逆に、不定方程式（A)の自然数解を見つければ、タクシー3が得られることになる。願わくばパラメータ解が得られれば、うれしいことこの上ない。

　不定方程式らしく $p,q,r$ を $x,y,z$ で置き換えて不定方程式、(A)を次の形の $x,y,z,k_1,k_2,t_1,t_2,t_3$ の不定方程式と考える。

$4k_{1}yz - (k_{2}x)^2=3t_1^2$
$4k_{1}zx - (k_{2}y)^2=3t_2^2$ 　　　　　　(A)
$4k_{2}xy - (k_{2}z)^2=3t_3^2$

$k_1$ を消去すると

$k_2^2\cdot{x}^3+3x\cdot{t}_1^2=k_2^2\cdot{y}^3+3y\cdot{t}_2^2=k_2^2\cdot{z}^3+3z\cdot{t}_3^2$ 　　　(B)

さらに、 $k_2$ を消去すると

　 $(-3x\cdot{t}_1^2+3y\cdot{t}_2^2)/(x^3-y^3)=(-3x\cdot{t}_1^2+3z\cdot{t}_3^2)/(x^3-z^3)$ (C)

となり、これらを満たす自然数 $x,y,z,t_1,t_2,t_3$ を求める。(C)式は、 $k_2^2$ となるので、これらの解のうち $k_2$ が自然数となる解を求める。さらに、 $k_1$ は（A) より求める。但し、整数にはならないかもしれない。それでもタクシー3が得られるので良いとする。

　あるかどうかわからないパラメータ解をいきなり探すのも大変なので、(C)式を用いてタクシー3を幾つも探し出す方法はないか考えてみた。

　①、②の例でも分かるように、 $x,y,z,t_1,t_2,t_3$ は多くの場合3桁以上の数になることが想定されるので、しらみつぶしに探すのは効率的でない。そこで

$x+y+z=K$ とおき、 $K$ を動かして解を探すこととして、

$x=u+v+K/3, y=-u+v+K/3, z=-2v+K/3$

とおくこととした。逆変換は、

$u=(x-y)/2, v=(x+y)/2-K/3$

である。ここで、 $2u$ 及び $6v$ は整数であることに注意する。

(C)を変形して

$(-3x\cdot{t}_1^2+3y\cdot{t}_2^2)(x^3-z^3)=(-3x\cdot{t}_1^2+3z\cdot{t}_3^2)(x^3-y^3)$
$y(x^3-z^3)t_2^2=x(y^3-z^3)t_1^2+z(x^3-y^3)t_3^2$

さらに $u,v,K$ を用いて書き直すと

　 $At_1^2=Bt_2^2+Ct_3^2$ 　　　　(D)

ここで、
$A=(u+3v)(K^2/3+K(u-v)+u^2+3v^2)(-u+v+K/3)$
$B=(-u+3v)(K^2/3+K(-u-v)+u^2+3v^2)(u+v+K/3)$
$C=2u(K^2/3+2Kv+u^2+3v^2)(K/3-2v)$

これから、 $K$ と $u,v$ を与えて (D)式より $t_1,t_2,t_3$ を求めることを考えた。しかし、 $t_1$ が3桁以上の数になることが多く、計算に時間を要して思うような結果が出なかった。
①や②の結果から $k_2,u,v$ はあまり大きな数にならないことが期待されたことと

　　 $3u^2+9v^2=3(x-y)^2/4+9/4(x+y)^2-3(x+y)K+K^2$
　　 $=3(x^2+y^2+xy)-3(x+y)(x+y+z)+K^2$
　　 $=-3(xy+yz+zx)+K^2$

が整数になることから、 $u,v$ を与えた上で(B)式のうち、 $k_2, K$ を与えて

$k_2^2\cdot{x}^3+3x\cdot{t}_1^2=k_2^2\cdot{y}^3+3y\cdot{t}_2^2$

を満たす解 $t_1,t_2$ を求め、

　　　 $k_2^2\cdot{y}^3+3y\cdot{t}_2^2=k_2^2\cdot{z}^3+3z\cdot{t}_3^2$ 　　

より、自然数解 $t_3$ を求めることとした。

　CoCalcで簡単なコードを書き、 $|u|+3|v|$ が30以下、かつ、 $K,t_2$ が1000以下で求めたタクシー3は以下のとおりである。なお、同一のタクシー3が複数回出てくる場合は $|u|+3|v|$ が最も小さな場合のみ掲載している。また、プリミティブなタクシー3、つまり6つの立方数の最大公約数が1であるもののみについて表示している。

$|u|+3|v|=4$ のとき

　　 $u=-1/2, v=-7/6, t_1=370, t_2=322, t_3=70, k_1=22197/109, k_2=30$

$670 ^3 + 300 ^3 = 661 ^3 + 339 ^3 = 580 ^3 + 510 ^3 = 327763000$

$u=-3, v=-/3, t_1=915,t_2=625,t_3=729, k_1=8703, k_2=45$

$930 ^3 + 15 ^3 = 920 ^3 + 295 ^3 = 927 ^3 + 198 ^3 = 804360375$

$|u|+3|v|=7$ のとき

$u=-2, v=-5/3, t_1=490, t_2=354, t_3=210, k_1=399, k_2=30$

$560 ^3 + 70 ^3 = 552 ^3 + 198 ^3 = 525 ^3 + 315 ^3 = 175959000$

$|u|+3|v|=16$ のとき

$u=-11, v=-5/3, t_1=269, t_2=159, t_3=195, k_1=3, k_2=3$
$436 ^3 + 167 ^3 = 414 ^3 + 255 ^3 = 423 ^3 + 228 ^3 = 87539319$

$|u|+3|v|=17$ のとき

$u=-12, v=-5/3, t_1=3351, t_2=609, t_3=1855, k_1=7203/4, k_2=69$
$7974^3 + 1272 ^3 = 6888 ^3 + 5670 ^3 = 7651^3 + 3941^3= 509082282072$

$|u|+3|v|=22$ のとき

$u=-13, v=-3, t_1=5675, t_2=925, t_3=2377, k_1=556491/49, k_2=75$
$9825^3 + 4150^3 = 8425^3 + 7500^3 = 9001^3 + 6624^3 = 1019886765625$

$|u|+3|v|=29$ のとき

　　 $u=-15/2, v=-43/6, t_1=1374, t_2=984, t_3=424, k_1=273, k_2=24$

　　 $1455 ^3 + 81 ^3 = 1440 ^3 + 456 ^3 = 1328 ^3 + 904 ^3 = 3080802816$

WEB (http://oeis.org/wiki/Hardy–Ramanujan_numbers）によると、小さいほうから14番目までのプリミティブなタクシー3は、以下のとおりである。上の計算で求められたものを太字とした。ここであげた計算法では、|u|+3|v|を大きくしないと、求められないタクシー３も多いようである。ちなみに、|u|+3|v|=30 までで求められなかったタクシー3について、必要な　|u|+3|v|　の値を　該当するタクシー3の右に記す。　

87539319,
119824488, 　　　|u|+3|v|=45
143604279, |u|+3|v|=66
175959000,
327763000,
804360375,
1840667192, |u|+3|v|=64
1915865217, |u|+3|v|=50
3080802816,
3499524728, |u|+3|v|=129
3623721192, |u|+3|v|=90
5544709352, |u|+3|v|=121
10458523413, |u|+3|v|=76
10499580728 |u|+3|v|=175