メモ14　3とおりに表せる2つの立方数の和のパラメーター解

メモ13で３とおりに表せる2つの立方数の和について書いた。今回はパラメータ解についてメモしておく。

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に結果だけ示したが、以下が成り立つ。

$(15u^2+77uv+112v^2)^3+(9u^2+31uv+14v^2)^3$

$=(16u^2+77uv+105v^2)^3+(2u^2+31uv+63v^2)^3$

$=(18u^2+91uv+126v^2)^3-(12u^2+67uv+84v^2)^3$

また、ハーディの本にあり、

blog.goo.ne.jp

に紹介したように

$z=X(X^3-2Y^3)/(X^3+Y^3)$

$w=Y(2X^3-Y^3)/(X^3+Y^3)$

とおけば

$z^3+w^3=X^3-Y^3$

となる。よって、

$X=18u^2+91uv+126v^2, Y=12u^2+67uv+84v^2$

$d=X^3+Y^3$

とすれば、

$(dz)^3+(dw)^3=d^3(X^3-Y^3)$

である。したがって、

$x_1=d(15u^2+77uv+112v^2), y_1=d(9u^2+31uv+14v^2)$

$x_2=d(16u^2+77uv+105v^2), y_2=d(2u^2+31uv+63v^2)$

$x_3=dz, y_3=dw$

とおけば

$x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3=x_3^3+y_3^3$

が成り立つ。

$dz=(18u^2+91uv+126v^2)(2376u^6+30564u^5v+173862u^4v^2$

$+579941u^3v^3+1217034u^2v^4+1497636uv^5+814968v^6)$

$d=2(15u^2+79uv+105v^2)$

$(252u^4+2586u^3v+10201u^2v^2+18102uv^3+12348v^4)$

に注意して、 $x_i, y_i$ を $u,v$ であらわすと

$x_1=2(15u^2+77uv+112v^2)(15u^2+79uv+105v^2)$

$(252u^4+2586u^3v+10201u^2v^2+18102uv^3+12348v^4)$

$y_1=2(9u^2+31uv+14v^2)(15u^2+79uv+105v^2)$

$(252u^4+2586u^3v+10201u^2v^2+18102uv^3+12348v^4)$

$x_2= 2(15u^2+79uv+105v^2)(16u^2+77uv+105v^2)$

$(252u^4+2586u^3v+10201u^2v^2+18102uv^3+12348v^4)$

$y_2=2(2u^2+31uv+63v^2)(15u^2+79uv+105v^2)$

$(252u^4+2586u^3v+10201u^2v^2+18102uv^3+12348v^4)$

$x_3=(18u^2+91uv+126v^2)(2376u^6+30564u^5v+173862u^4v^2$

$+579941u^3v^3+1217034u^2v^4+1497636uv^5+814968v^6)$

$y_3=(12u^2+67uv+84v^2)(9936u^6+147960u^5v+941400u^4v^2$

$+3277819u^3v^3+6589800u^2v^4+7250040uv^5+3408048v^6)$

下に、 $u, v$ に具体的な数を与えた場合の例をいくつか示す。 $x_i,y_i$ 間に公約数がある場合は、公約数で約した結果を示してある。 $u$ が負の整数でも $|u | \lt v$ であれば $x_i,y_i$ は自然数になるようである。

\begin{array}{c|ccc}
(u,v) & x^3 & + & y^3 \\
\hline
& 3530958888^3 & + & 934665588^3 \\
(1,1) & = 3427107156^3 & + & 1661627712^3 \\
& = 1014349535^3 & + & 3524875489 ^3 \\
\hline
& 437818^3 & + & 150416^3 \\
(2,1) & = 433789^3 & + & 178619 ^3 \\
& = 119320^3 & + & 440762 ^3 \\
\hline
& 466702948^3 & + & 183556808^3 \\
(3,1) & = 468655680^3 & + & 169887684^3 \\
& = 127348309^3 & + & 472923755 ^3 \\
\hline
& 1896655287^3 & + & 18414129^3 \\
(-1,2) & = 1730928126^3 & + & 1178504256^3 \\
& = 837390760^3 & + & 1840604798^3
\end{array}

このように、３とおりに表せる立方数の和のもととなる数を $u, v$ の同次８次多項式として示すことができたが、上で見たようにこの多項式で求められるのは、そのような場合のごく一部に過ぎない。もう少し低次の多項式での解があるのかもしれない。