メモ15　2つの立方数の和を3とおりに表すパラメータ解を求めて

　メモ14で　正の立方数の和を3とおりで表わすパラメータ解を求めた。ただし、それは2変数同次8次式となりあまり簡明なものではなかった。もう少し、低次の多項式でパラメータ解がないか、いろいろ試したがなかなかうまくいかない。その試みにも何か意味があるかと思い、ここに書き残しておく。

1． $x^3+y^3=m$ のパラメータ表示

　パラメータ表示は、いろいろなやり方があると思うが、ここでは、 $x, y$ を $u,v$ の同次2次式であらわすことを考える。

　最初に以下の命題を示す。

(命題1)
$\qquad p=ax^2+buv+cv^2 \\\qquad q=du^2+euv+fv^2 \\\qquad r=gu^2+h uv+iv^2 \\\qquad t=Au^2+Buv+Cv^2$

とおくとき、 $4qr-p^2=3t^2$ となるように複素数 $a,b,c,d,e,f,g,h,i,A,B,C$ を定めれば、
$x=(p+t)/2,y=(p-t)/2$ とおくとき、 $x^3+y^3=pqr$ である。

この命題で、 $a,b,c,d,e,f,g,h,i,A,B,C$ が整数であれば、正とは限らないが立方数のパラメータ表示が得られる。

(説明)　 $x+y=p,3xy=3/4(p^2-t^2)=p^2-qr$ より

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)\{(x+y)^2-3xy\}\\\hspace{33pt}=p\{p^2-(p^2-qr)\}=pqr$ 　　　 (説明終）

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}p=ax^2+buv+cv^2\\q=du^2+euv+fv^2 \\ r=gu^2+huv+iv^2 \\t=Au^2+Buv+Cv^2\end{array} \right.\end{eqnarray}$

とおくとき

$qr = (du^2+euv+fv^2)(gu^2+huv+iv^2)\\ \hspace{10pt}= dgu^4+(dh+eg)u^3v+(di+fg+eh)u^2v^2+(ei+fh)uv^3+fiv^4$

$p^2 = (au^2+buv+cv^2)^2\\ \hspace{10pt}= a^2u^4+2abu^3v+(2ac+b^2)u^2v^2+2bcuv^3+c^2v^4$

より

$4qr-p^2 = (4dg-a^2)u^4+\{4(dh+eg)-2ab\}u^3v\\ \hspace{40pt} + (4di+4fg+4eh-2ac-b^2)u^2v^2\\\hspace{40pt} +\{4(ei+fh)-2bc\}uv^3+(4fi-c^2)v^4$

である。また、

$t^2 = (Au^2+Buv+Cv^2)^2\\ \hspace{10pt}= A^2u^4+2ABu^3v+(2AC+B^2)u^2v^2+2BCuv^3+C^2v^4$

であるので、 $4qr-p^2=3t^2$ が成立するためには、

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}4dg-a^2=3A^2\hspace{130pt}(1)\\4dh+4eg-2ab=3\cdot2AB\hspace{83pt}(2) \\ 4di+4fg+4eh-2ac-b^2=3\{2AC+B^2\} \hspace{10pt}(3)\\4ei+4fh-2bc=3\cdot2BC\hspace{86pt}(4)\\4fi-c^2=3C^2\hspace{133pt}(5)\end{array} \right.\end{eqnarray}$

であればよい。　

(1)~(5)が成り立つ例を以下に示す。

(例1)　

(1)は $\{\frac{(a+A)}{2}\}^3+\{\frac{(a-A)}{2}\}^3=a\cdot d\cdot g$ であることを示す。(5)も同様である。よって、タクシー数1729の例より

$a=19, d=7, g=13, A=1, c=13, f=7, i=19, C=11$ が(1)、(5)の一つの解である。

(2), (3), (4)にこの解を入れて整理すると

(2)　→　 $28h+52e-38b=6B\hspace{29pt}(6)$

(3)　→　 $402+4eh-b^2=66+3B^2\hspace{10pt}(7)$

(4)　→　 $76e+28h-26b=66B\hspace{27pt}(8)$

(6), (8)を $h,B$ の連立方程式として解くと

$\hspace{30pt} 5h=-62e+49b\hspace{30pt}(9)$

$\hspace{30pt} 5B=2e+b\hspace{40pt}(10)$

これを (7) に代入し、 $b,e$ の式とすると

$\hspace{30pt} (7b-16e)^2+3(5e)^2=3(2\cdot 5\cdot 7)^2=14700$

この式で　 $b,e$ が整数となる解は

$(b,e)=(31,7), (-31,-7), (1,7),(-1,-7), (32,14), (-32,-14)$ のみ

$(b,e)=(31,7)$ のとき

(9), (10) より、 $h=31,B=9$ したがって、

$a=19, b=31,c=13,d=7, e=7,f=7,g=13, h=31,A=1, B=9, C=11$

これより

$p=19u^2+31uv+13v^2, q=7u^2+7uv+7v^2, r=13u^2+31uv+19v^2$

$t=u^2+9uv+11v^2$

よって、命題１より

$x=(p+t)/2=10u^2+20uv+12v^2, y=(p-t)/2=9u^2+11uv+v^2$

$(10u^2+20uv+12v^2)^3+(9u^2+11uv+v^2)^3\\=(19u^2+31uv+13v^2)(7u^2+7uv+7v^2)(13u^2+31uv+19v^2)$

なお、上式の右辺は $u,v$ の対称式なので

$(10u^2+20uv+12v^2)^3+(9u^2+11uv+v^2)^3\\=(12u^2+20uv+10v^2)^3+(u^2+11uv+9v^2)^3$

が成り立つ。

$(b,e)=(-31,-7)$ のとき

$(b,e)=(31,7)$ の場合のパラメータ解で $v$ を $-v$ に置き換えた解が得られる。

$(b,e)=(1,7)$ のとき

(9), (10) より、 $h=-11,B=3$ したがって、

$a=19, b=1,c=13,d=7, e=7,f=7,g=13, h=-11, A=1, B=3, C=11$

これより

$(10u^2+2uv+12v^2)^3+(9u^2-1uv+v^2)^3\\=(19u^2+uv+13v^2)(7u^2+7uv+7v^2)(13u^2-11uv+19v^2)$

$(b,e)=(-1,-7)$ のとき

$(b,e)=(1,7)$ の場合のパラメータ解で $v$ を $-v$ に置き換えた解が得られる。

$(b,e)=(32,14)$ のとき

(9), (10) より、 $h=20,B=12$ したがって、
$a=19, b=32,c=13,d=7, e=14,f=7,g=13, h=-20, A=1, B=12, C=11$
これより
$(10u^2+22uv+12v^2)^3+(9u^2+10uv+v^2)^3\\=(19u^2+32uv+13v^2)(7u^2+14uv+7v^2)(13u^2+20uv+19v^2)$

$(b,e)=(-32,-14)$ のとき

$(b,e)=(32,14)$ の場合のパラメータ解で $v$ を $-v$ に置き換えた解が得られる。

2． $x_{1}^3+y_{1}^3=x_{2}^3+y_{2}^3=m$ のパラメータ表示

上の例で、 $(b,e)=(31,7)$ のとき、すでにこの例が出ている。改めて示すと、

$(10u^2+20uv+12v^2)^3+(9u^2+11uv+v^2)^3\\=(12u^2+20uv+10v^2)^3+(u^2+11uv+9v^2)^3\\=(19u^2+31uv+13v^2)(7u^2+7uv+7v^2)(13u^2+31uv+19v^2)$

である。この求め方を振り返ると、 $m$ が $u,v$ の対称式となることを利用している。そこで、1　の議論で最初から

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}p=ax^2+buv+cv^2\\q=du^2+euv+dv^2 \\ r=cu^2+buv+av^2 \\t=Au^2+Buv+Cv^2\end{array} \right.\end{eqnarray}$

とおき $a,b,c,d,e,A,B,C$ を求めれば $m=pqr$ は $u,v$ の対称式となるので、立方数を2通りに表すパラメータ解が得られることになる。

この時、解くべき式は

$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{l}4dc-a^2=3A^2\hspace{130pt}(11)\\4db+4ec-2ab=3\cdot2AB\hspace{83pt}(12) \\ 4da+4dc+4eb-2ac-b^2=3\{2AC+B^2\} \hspace{10pt}(13)\\4ea+4db-2bc=3\cdot2BC\hspace{86pt}(14)\\4da-c^2=3C^2\hspace{133pt}(15)\end{array} \right.\end{eqnarray}$